Complejo simplicial formado por los idempotentes centrales de un álgebra

Question

Dejemos que $A$ sea un álgebra, digamos sobre $\mathbb{C}$ y de dimensión finita, pero no necesariamente semisimple. Tengo la fuerte sensación, que me gustaría probar y utilizar, de la siguiente aproximación bastante natural.

Considere el conjunto $S$ de idempotentes centrales en $A$ entonces quiero convertir el conjunto de idempotentes centrales $\Delta$ en un complejo simplicial abstracto . Dos idempotentes $e_1,e_2$ están conectados si $e_1\in e_2A$ , los símbolos consisten en un subconjunto completamente conectado y y los símbolos de mayor dimensión por lo tanto son banderas asociadas a una descomposición de $A$ en el centro primitivo idempotentes. Así es como se definen los edificios como complejos simpliciales, por ejemplo, de subespacios de un espacio vectorial finito....

¿Esto está bien? No estoy familiarizado con el cálculo con idempotentes prinimtivos centrales - especialmente estoy preocupado, si cualquier descomposición en idempotentes primitivos centrales tiene la misma cardinalidad?

.. en caso afirmativo parece tan natural, que debería existir algo similar (seguramente más avanzado ;-) - ¿alguna referencia? Probablemente también me bastaría con una construcción relacionada y/o quiero averiguar más hechos establecidos sobre tal "complejo simplicial algebraico / edificio"... Gracias por su ayuda de antemano.

Answer 1

Los idempotentes centrales de un álgebra de dimensión finita forman un álgebra booleana finita con 1 como máximo y los idempotentes centrales primitivos como átomos. La descomposición de 1 en idempotentes centrales es por tanto única. Así que los idempotentes centrales son la red de caras de un simplex. El orden es $e\leq f$ si $e\in fA$ . Su complejo simplicial sería el complejo de orden de esta álgebra booleana y por tanto sería la subdivisión baricéntrica de un simplex.

Detalles añadidos. Las operaciones del álgebra booleana vienen dadas por $e\wedge f=ef$ , $e\vee f=e+f-ef$ y $\neg e=1-e$ . La finitud se deduce, por ejemplo, porque se puede observar la representación regular del álgebra $A$ por matrices y observar que los idempotentes centrales forman un semigrupo conmutativo de matrices idempotentes. Dicho semigrupo es simultáneamente diagonalizable y sólo hay $2^n$ idempotente diagonal $n\times n$ matrices.