Norma del operador de multiplicación $f\mapsto (x\mapsto xf(x))$ en $L^2[a,b]$

Question

Tenemos un operador lineal $T : L^2[a,b] \rightarrow L^2[a,b]$ (con $|a| \le |b|$ ), $f \mapsto (x \mapsto xf(x))$

Ahora voy a determinar lo que $\Vert T\Vert$ es.

Es evidente que tenemos $\Vert x \mapsto xf(x)\Vert \le |b|\,\Vert f\Vert$ Así que $\Vert T\Vert \le |b|$ . Pero, ¿tenemos también $||T||=|b|$ ?

Answer 1

Sugerencia: considere $T$ aplicado a las funciones $g_n=1_{[b-1/n,b]}/\|1_{[b-1/n,b]}\|$ .