Secuencia que converge al límite inferior de una función

Question

Dejemos que $f:\mathbb R^n\to \mathbb R\cup\{+\infty,-\infty\}$ . El límite inferior de $f$ en $x_0 \in \mathbb R^n$ se define como \begin {Ecuación} \liminf_ {x \to x_0}f(x) = \lim_ { \varepsilon \downarrow 0} \left ( \inf\ {f(x) \mid x \in (x_0 + \varepsilon B_n) \setminus\ {x_0\}\} \right ) \end {ecuación} donde $B_n$ es la bola unitaria cerrada. Intento demostrar o refutar la siguiente conjetura:

Existe una secuencia $\{x_k\}$ de $\mathbb R^n$ tal que $x_k \to x_0$ y $f(x_k) \to \liminf_{x\to x_0} f(x)$ como $k \to \infty$ .

Mi primera prueba fue la siguiente:

Definir $U_k = (x_0 + \varepsilon_k B_n)\setminus\{x_0\}$ y $m_k = \inf\{f(x)\mid x \in U_k\}$ con $\varepsilon_1 > \varepsilon_2 > \cdots$ y $\varepsilon_k \to 0$ . Entonces, $m_1 \le m_2 \le \cdots$ y $m_k \to \liminf_{x\to x_0}f(x)$ . Si elegimos un punto $x_k$ de un conjunto $V_k = \{x\in U_k\mid m_k \le f(x) \le m_{k+1}\}$ entonces $x_k \to x_0$ y $f(x_k) \to \liminf_{x\to x_0}f(x)$ .

Sin embargo, si $\liminf_{x\to x_0}f(x) = \inf\{f(x)\mid x \in U_1\}$ y $\liminf_{x\to x_0}f(x) \notin f(U_1)$ entonces $V_k = \emptyset$ y la prueba no funciona. ¿Podría darme alguna pista o referencia?

\=================================================================== Editar:

He corregido la prueba gracias a la respuesta de Martin Argerami.

Definir $U(\varepsilon) = (x_0 + \varepsilon B_n)\setminus\{x_0\}$ y $m(\varepsilon) = \inf\{f(x)\mid x \in U(\varepsilon)\}$ . Entonces, $m(\varepsilon) \to m_0 = \liminf_{x \to x_0}f(x)$ como $\varepsilon \to 0$ .

1) Si existe $\varepsilon > 0$ tal que $m(\varepsilon) = +\infty$ entonces $f(x) = +\infty$ por cada $x \in U(\varepsilon)$ Así que $f(x_k) \to m_0 = +\infty$ para cada secuencia $\{x_k\}$ que converge a $x_0$ .

Supongamos que $m(\varepsilon) < +\infty$ para todos $\varepsilon >0$ .

2) Si existe $\varepsilon_1 >0$ tal que $m(\varepsilon) = -\infty$ por cada $0 < \varepsilon \le \varepsilon_1$ , entonces dejemos que $\varepsilon_1 > \varepsilon_2 > \cdots$ tal que $\varepsilon_k \to 0$ .

2-1) Si $-\infty \in f(U(\varepsilon_k))$ , dejemos que $x_k \in U(\varepsilon_k)$ tal que $f(x_k) = -\infty$ .

2-2) Si $-\infty \notin f(U(\varepsilon_k))$ , dejemos que $x_k \in U(\varepsilon_k)$ tal que $f(x_k) < -k$ ; tal $x_k$ existe por la definición del infimo.

Entonces $x_k \to x_0$ y $f(x_k) \to m_0 = -\infty$ como $k \to \infty$ porque $f(x_k) < -k$ .

3) Si existe $\varepsilon_1 >0$ tal que $-\infty < m(\varepsilon_1) < +\infty$ entonces $-\infty < m(\varepsilon) < +\infty$ por cada $0 <\varepsilon \le \varepsilon_1$ . Sea $\varepsilon_1 > \varepsilon_2 > \cdots$ tal que $\varepsilon_k \to 0$ . Por la definición del mínimo, existe $x_k \in U(\varepsilon_k)$ con $|f(x_k) - m(\varepsilon_k)| < 1/k$ . Entonces $x_k \to x_0$ y \begin {Ecuación} \lim_ {k \to\infty }f(x_k) = \lim_ {k \to\infty }m( \varepsilon_k ) = m_0. \end {Ecuación}

Answer 1

Por definición de inf, para cada $k$ existe $x_k\in U_k$ con $|m_k-f (x_k)|<1/k$ . Entonces $$\liminf_{x\to x_0}f (x)=\lim_{k\to\infty}m_k=\lim_{k\to\infty}f (x_k).$$

Es necesario que te ocupes de la $\pm\infty$ caso por sí solo, pero el espíritu es el mismo.