Área delimitada por una hipérbola

Question

Encuentre la zona " A " del gráfico dado

Las respuestas deben ser en términos de a , b y h

Mi intento:

(1) Busca una ecuación en términos de y (o quizás en términos de x ya que la región está limitada entre $y=0$ y $y=h$ ?)

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \\ b^2x^2-a^2y^2 = a^2b^2 \\ a^2y^2 = b^2x^2-a^2b^2 \\ y^2 = (\frac{bx}{a})^2-b^2 \\ y = \sqrt{(\frac{bx}{a})^2-b^2}$

La expresión dentro de la raíz cuadrada se parece bastante a $\frac{d}{dx}arcsin(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ ... No sé si/como hacer esa sustitución (si es lo que tengo que hacer). Después de eso, creo que sólo tengo que evaluarlo de $y=0$ a $y=h$

Answer 1

Integrar sobre $y$ será más fácil de resolver.

$$A = 2a\int_0^h \sqrt{1+\frac{y^2}{b^2}}dy = 2ab \int_0^{h/b} \sqrt{1+u^2}du$$

La primitiva de $\sqrt{1+u^2}$ se puede encontrar por sustitución. Sugiero $u=\sinh t$ entonces

$$\int \sqrt{1+u^2}du = \int \cosh^2 t dt = \frac{1}{4} \sinh(2t) + \frac{t}{2} = \frac{1}{2} u\sqrt{1+u^2} + \frac{\text{arcsinh}(u)}{2} \; .$$