¿La intuición del espacio de Hilbert se traslada al espacio de Banach?

Question

Dado un espacio de Banach $X$ y su espacio dual $X^*$ . Supongamos que $a$ y $b$ son dos vectores de norma unitaria en $X$ . $a^*$ y $b^*$ sean elementos de norma unitaria en el espacio dual $X^*$ tal que $a$ y $a^*$ así como $b$ y $b^*$ están alineados. Es $\langle a,b^*\rangle = \langle b,a^*\rangle$ ? Si la respuesta es afirmativa, presente una prueba o un contraejemplo.

Nota: $\langle x,x^*\rangle$ se utiliza para denotar la acción de los elementos del espacio dual( $x^*\in X^*$ ) en los elementos del espacio original ( $x\in X$ ).

$a$ alineado con $a^*$ $\Rightarrow \langle a,a^*\rangle = \|a\|\|a^*\| = 1$ . Del mismo modo, $\langle b,b^*\rangle = \|b\|\|b^*\| = 1$ .

Según yo, en un entorno de espacio de Hilbert $\langle a,b^*\rangle = \langle b,a^*\rangle$ equivale a $\langle a,b\rangle = \langle b,a\rangle$ o de forma equivalente $a^Tb = b^Ta$ . Por lo tanto, se mantiene para los espacios de Hilbert debido a la naturaleza simétrica del producto interior en un espacio de Hilbert. Por lo tanto, creo que el resultado podría ser válido en un espacio de Banach.

Answer 1

Considere $\mathbf{R}^2$ con la norma sup. Definir $a=(1,0)$ , $a^{*}(x,y) = x$ , $b=(1,1)$ , $b^{*}(x,y) = y$ . Entonces $a$ y $a^{*}$ están alineados, así como $b$ y $b^{*}$ . Sin embargo, $\langle a,b^{*} \rangle = 0$ y $\langle b,a^{*} \rangle = 1$