Hace un tiempo pregunté cómo probar que la intersección $\bigcap S$ de cualquier conjunto no vacío $S$ existe, utilizando los axiomas de ZFC. La respuesta implicaba el axioma de unión. Sin embargo, no creo que sea necesario. Dado que la intersección de $S$ es un subconjunto de un elemento $s$ de $S$ Creo que todo lo que se necesita es el esquema del axioma de separación. ¿Es esto cierto? ¿O es esencial el axioma de unión?
Respuestas
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ManuelSchneid3r
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Sí, puedes hacerlo. Sin embargo, el argumento basado en la unión tiene un bonito aspecto de uniformidad del que carece el argumento sin unión, a saber, que no implica una elección en ningún paso. En el argumento sin unión tenemos que elegir algún elemento de $S$ para "enmarcar" nuestra intersección. Por supuesto, la elección no importa, y la lógica de primer orden nos permite realizar dicha elección en primer lugar, pero para algunas personas sigue habiendo algo molesto en esto.
Esto se puede poner de manifiesto con mayor claridad mediante una interpretación "algebraica" de la situación. Imaginemos una expansión del lenguaje de la teoría de conjuntos mediante algunas operaciones nuevas correspondientes a los distintos axiomas, entre ellas:
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una función unitaria para la unión $f_{union}$ con el significado previsto de que $$f_{union}(x)=\bigcup x,$$ y
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para cada fórmula $\varphi(x_1,...,x_n,y)$ en el lenguaje de la teoría de conjuntos con sólo las variables libres mostradas, un $(n+1)$ función separadora -aria $g_{sep, \varphi}$ con el significado previsto de que $$g_{sep,\varphi}(a_1,...,a_n,b)=\{c\in b: \varphi(a_1,...,a_n,c)\}.$$
El argumento basado en la unión nos permite interpretar el mapa de intersección $x\mapsto \bigcap x$ como término $\tau$ en este idioma: es sólo $$x\mapsto g_{sep,\psi}(x, f_{union}(x))$$ donde $\psi(x,y)\equiv\forall z\in x(y\in z)$ .
Por el contrario, creo (el argumento es bastante tedioso tristemente) que el argumento de la ausencia de unión no da lugar a ese término y, de hecho, si eliminamos la función correspondiente a la unión, ya no podemos representar la intersección como un término. en el lenguaje resultante, más limitado.
Así que el argumento basado en la unión tiene un contenido genuino del que carece el argumento sin unión, pero este contenido sólo aparece cuando consideramos contextos expandidos (= teoría de conjuntos + algunas operaciones particulares adicionales).
Por otra parte, hay que tener en cuenta que $\tau(x)$ se define incluso cuando $x$ está vacío: tenemos $\tau(\emptyset)=\emptyset$ . No nos encontramos con el " $\bigcap \emptyset=V$ ", ya que hemos atrapado todo dentro del conjunto específico $f_{union}(\emptyset)$ . ¡Esto es muy bonito!
Si $\mathcal{C}$ es una colección no vacía de conjuntos podemos elegir $C_0 \in \mathcal{C}$ (por esa no vacuidad) y definir
$$\bigcap \mathcal{C} := \{x \in C_0\mid \forall C \in \mathcal{C}: x \in C\}$$
puramente de separación. Se podría demostrar también que el conjunto resultante no depende del conjunto $C_0$ elegimos primero. El axioma de la unión sólo se utiliza para evitar esa última prueba extra, creo.
