Los atletas compiten en el lanzamiento de jabalina, uno tras otro, lanzándola a distancias independientes que son todas exponencialmente

Question

Los atletas compiten en el lanzamiento de jabalina, uno tras otro, lanzándola a distancias independientes que se distribuyen exponencialmente con el parámetro $\lambda$ . El primer competidor liderará la competición hasta el $N$ oponente detrás de él lanza el manillar a una distancia mayor y toma la delantera. Calcula $E(N)$ .

Lo que he probado: Dejar que $X_i$ ser el resultado de la competencia $i$ . Sabemos que $X_i\sim\exp(\lambda)$ . Intenté usar $E\left(N\right)=E\left(E\left(N|X_{1}=x\right)\right)$ . Pero, ¿cómo puedo representar $N$ para estar relacionado con $X_1$ ? Según tengo entendido quiero el primer jugador así que $X_N>X_1$ .

Realmente estoy luchando con esta pregunta. Es la primera vez que veo una variable aleatoria en un índice. ¿Cómo lo resuelvo?

Answer 1

Piensa de la siguiente manera:

Eres el primero y consigues una distancia $x$

Condicionado a su distancia, $N$ sigue una distribución geométrica con parámetro $P(Y>x)=e^{-\lambda x}$

Es decir

$$(N|X=x)\sim Geo(e^{-\lambda x})$$

con la media $E(N|X=x)=e^{\lambda x}$

Utilizando las propiedades de Expectation se obtiene

$$E(N)=E[E(N|X=x)]=E(e^{\lambda x})=\int_0^{\infty}e^{\lambda x} \lambda e^{-\lambda x}dx=\infty$$