El menor valor entero de $x$ que satisfacen $|x| + |\frac{x}{x - 1}| = \frac{x^2}{|x - 1|}$ es...

Question

Pregunta: El menor valor entero de $x$ que satisfacen $|x| + |\frac{x}{x - 1}| = \frac{x^2}{|x - 1|}$ es...

MI INTENTO:

Caso 1: Tomando todos los módulos positivos y resolviendo ...
Caso 2: Tomando todos los módulos negativos y resolviendo...
Caso 3: Tomando diferentes signos de diferentes módulos a la vez y resolviendo...

Pero el caso 3 dará lugar a muchos casos diferentes y esto llevará mucho tiempo para resolverlo. Por lo tanto, definitivamente se requiere un método alternativo. Por favor, proporcione un método eficiente para resolver esta cuestión. Gracias.

P.D.: La respuesta a esta pregunta es x=0

Esta es una nueva edición realizada hace 8 horas. Cualquiera que haya publicado sus respuestas antes de eso no está equivocado y no es defectuoso. Su respuesta satisfará esta pregunta: El menor valor entero de $x$ que satisfacen $|x| + |\frac{x}{x + 1}| = \frac{x^2}{|x - 1|}$ , es.... Perdón por la confusión

Answer 1

Probablemente no sea la forma más eficiente de hacerlo, pero en mi opinión es más divertido $$|x|+\frac{|x|}{|x+1|}=\frac{x^2}{|x-1|}$$ $$x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}+\frac{2x^2}{|x+1|}=\frac{x^4}{(x-1)^2}$$ Así que claramente $x=0$ es una solución. Quitando un factor de $x^2$ obtenemos $$1+\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{2}{|x+1|}=\frac{x^2}{(x-1)^2}$$ $$\frac{x^2}{(x-1)^2}-\frac{1}{(x+1)^2}-1=\frac{2}{|x+1|}$$ $$\frac{x^4}{(x-1)^4}+\frac{1}{(x+1)^4}+1-\frac{x^2}{(x-1)^2(x+1)^2}-\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{1}{(x+1)^2}=\frac{4}{(x+1)^2}$$ $$\frac{3}{(x+1)^2}=\frac{x^4(x+1)^4+(x-1)^4+(x+1)^4(x-1)^4-x^2(x+1)^2(x-1)^2-x^2(x-1)^2(x+1)^4}{(x-1)^4(x+1)^4}$$ Así que si decimos $x\neq-1,1$ podemos multiplicar por $(x+1)^4(x-1)^4$ :

$$3(x-1)^4(x+1)^2=x^4(x+1)^4+(x-1)^4+(x+1)^4(x-1)^4-x^2(x+1)^2(x-1)^2-x^2(x-1)^2(x+1)^4$$ Así que serán las soluciones de este polinomio, excepto $x=1,-1$

Answer 2

$\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}$ Lejos de $x\in \{-1,0,1\}$ basta con encontrar las soluciones de $f(x)=0$ , donde $$f(x)\stackrel{\text{def}}{=}\abs{x^2+x}-\abs{x^2-1}-\abs{x-1}\text{.}$$ Como se indica en los comentarios, hay cuatro casos para trabajar: $$f(x)=2\cdot \begin{cases} x & x < -1 \\ -1 & -1 < x < 0 \\ x^2 + x -1 & 0 < x < 1 \\ 1 & 1 < x \end{cases}\text{.}$$ Pero el análisis de este caso muestra que $f$ no es decreciente y tiene exactamente una raíz, en el intervalo $(0,1)$ . Por tanto, la única solución integral de la ecuación original es la trivial en $x=0$ .

Answer 3

Desde $0$ es una solución, la solución menos entera tiene que ser $\le0$ Así que $|x|=-x$ y $|x-1|=1-x$ . Así, la ecuación se convierte en $$ -x-\frac{x}{1-x}=\frac{x^2}{1-x} $$ es decir $$ -x+x^2-x=x^2 $$ Por lo tanto, $x=0$ es la única solución $\le0$ .

Answer 4

Caso $3$ no son tantos casos como se cree.

Considera.

Caso 1: $x \ge 1$ entonces $x - 1 \ge 0$ y el módulo son no negativos. Sin embargo, $\frac x{x-1}$ es indefinido para $x = 1$ así que $x> 1$

$x + \frac x{x-1} = \frac {x(x-1) + x}{x-1} = \frac {x^2}{x-1}$ que siempre es cierto así que $x > 1$ son soluciones.

Caso 2: $x \le 0$ así que $x -1 < 0$ pero $\frac {x}{x-1} \ge 0$ .

Así que $-x + \frac x{x-1} = - \frac {x^2}{x-1}$ que siempre es verdadera si

$\frac {-x(x-1) + x}{x-1} = \frac {-x^2 + 2x}{x-1} = \frac {-x^2}{x-1}$ que sólo ocurre si así $x = 0$ . Así que $x = 0$ es la solución.

Caso 3: $0 < x < 1$ entonces $x > 0$ y $x-1 < 0$ y $\frac x{x-1} < 0$ .

Así que queremos $x - \frac x{x-1} = -\frac {x^2}{x-1}$ que es verdadera si

$\frac {x(x-1) - x}{x-1} = \frac {-x^2}{x-1}$ que es verdadera si

$\frac {x^2 - 2x}{x-1} = \frac {-x^2}{x-1}$ que es verdadera si y sólo si

$x^2 - 2x = -x^2$

$2x^2 = 2x$

$x^2 = x$ lo que ocurre si $x = 0$ o $x =1$ pero esos están fuera de alcance.

Así que las soluciones son $x= 0$ o $x > 1$ .

Answer 5

Alternativamente: $$|x| + |\frac{x}{x - 1}| = \frac{x^2}{|x - 1|} \iff \\ |x|\left(1+\frac{1}{|x-1|}\right)=\frac{|x|^2}{|x-1|} \iff \\ 1) \ |x|=0 \ \ \text{or} \ \ 2) \ 1+\frac1{|x-1|}=\frac{|x|}{|x-1|} \iff \\ 1) \ x=0;\\ 2) \ \frac{|x-1|+1}{|x-1|}=\frac{|x|}{|x-1|} \stackrel{x\ne 1}{\Rightarrow} \\ |x-1|=|x|-1 \Rightarrow x> 1.$$ Por lo tanto, la solución de la ecuación original es $x\in \{0\}\cup (1,+\infty)$ y la solución menos entera es $x=0$ .