formas diferenciales exactas y cerradas

Question

Este ejercicio está tomado del libro de Meyer-Hall-Offin sobre sistemas hamiltonianos.

Dejemos que $Q(p,q)$ y $P(p,q)$ sean funciones suaves definidas en un conjunto abierto en $\mathbb{R}^2$ . Consideremos las cuatro formas diferenciales $\Omega_1=PdQ-pdq,\ \Omega_2=PdQ+qdp,\ \Omega_3=QdP+pdq,\ \Omega_4 = QdP-qdp$ . Demostrar que $\Omega_i$ es cerrado (exacto) si $\Omega_j$ es cerrado (exacto) para $i\neq j$ .

He podido mostrar el caso "cerrado", pero no sé cómo enfocar el segundo caso. ¿Algún consejo?

Gracias de antemano.

Answer 1

Obsérvese que para $\Omega_i$ siempre es posible escribir:

$$ \Omega_{i} = \sum_{j\neq i} a_j \Omega_j $$ para algunas constantes $a_j$ . Por ejemplo: $\Omega_1 = \Omega_2 + \Omega_4 -\Omega_3 $ . Así que si todos $j\neq i$ formas son exactas, por lo que será $\Omega_i$ .