¿Qué es un intermedio de la definición de tangente a una curva?

Question

La mayoría de los estudiantes vienen de cálculo con un sentido intuitivo de lo que la tangente a la línea debe ser de una curva. Es bastante fácil dar una definición de una tangente a un círculo que es primaria y riguroso. (Una línea que se cruza con un círculo exactamente una vez.) Sin embargo, cuando hablamos de una curva, como un polinomio, creo que uno debe hablar de la infinidad de dar una definición rigurosa. Esto no es una mala cosa... puede ayudar a motivar a una lección sobre la definición formal de una recta tangente en un punto... Pero, ¿qué definición intermedio podría utilizar para ayudar a aquellos estudiantes que no tienen la intuición acerca de la cuestión de tener una idea de lo que está pasando antes de hablar de secantes y tal?

He mirado en algunos libros y en internet, y me encuentro diciendo una línea tangente es uno de los que "toca" problemático, es el tipo de frase que es bastante sin sentido... Incluso en el marco de onu-las definiciones rigurosas. Sí, voy a dar ejemplos, pero me gustaría hacerlo mejor ... creo que decir que una línea tangente es una flecha que apunta en la dirección en la que la curva va en ese instante podría tener sentido... Aunque todo se hace 'direccional' y que pueden confundir a ellos más tarde.

¿Cuál es la mejor definición intermedio has visto?

Answer 1

La tangente es una recta que interseca a la curva de una vez, al menos si se hace bastante corto, pero no hay una dirección tal, que si se rota la línea sobre el punto de intersección en esa dirección, no importa lo poco que gire, que va a golpear la curva de nuevo. Esta definición aparentemente se remonta a Euclides en alguna forma, y se trabaja en los puntos de inflexión, pero no en las dimensiones superiores $2$. (Asumo que está hablando sólo de las curvas planas.) Creo que tenemos la derivada sea continua para que funcione, y que de no ser constante en una vecindad del punto de intersección.

No veo qué tiene de malo dar una definición física: es cuando una partícula que se mueve a lo largo de la curva pasaría si de pronto ya no había fuerzas que actúan sobre él (la primera ley de Newton). O, aún más físicamente, es la línea una pelota de comenzar el viaje en si tiraba la pelota en un arco correspondiente a la curva y se deja ir en el punto en el que estás interesado. Esta definición tiene la ventaja de que no depende de los antecedentes de las matemáticas: es (una primera aproximación) una evidencia empírica sobre el universo que este concepto es consistente.

Answer 2

Mi favorito de cálculo de nivel de definición (que es bastante rigurosa, no es difícil de motivar, y no confían en las fotos) es que la línea tangente a $y=f(x)$ $x_0$ es la (única) de la línea que va a través de $(x_0,f(x_0))$ y ofrece la mejor aproximación lineal a $y=f(x)$ cerca de $x_0$. Es decir, si vamos a $g(x)$ ser el punto de la línea con coordenadas $x$, $f(x)-g(x)$ va a cero más rápido que $x-x_0$$0$; es decir,$\frac{f(x)-g(x)}{x-x_0} \to 0$$x\to x_0$. Esta captura la idea de que la tangente es la recta que "mejor enfoques de" el gráfico cuando usted está cerca del punto de $x_0$.

Consulte acerca a mitad de camino a través de esta respuesta anterior (comenzando en el párrafo 7, donde dice: "Ahora bien, la línea que unen $A$ $B$ realmente tienen una pendiente que se aproxima a la pendiente de la tangente?").

Answer 3

según me tangente es una recta perpendicular a la radious de curvatura de la curva en un punto dado.