Un poco de papel persiguiendo anotó este breve artículo por George Marsaglia, en el que también cita el artículo de James Glaisher donde la función de error se le dio un nombre y la notación (pero con diferentes normalización). Aquí está la sección correspondiente en el papel:
En 1871, J. W. Glaisher publicado un artículo sobre las integrales definidas en las que
comenta que mientras que apenas hay una función que no se puede poner
en la forma de una integral definida, para la evaluación de aquellos que
no se puede poner en la forma de un tolerable de la serie estamos limitados a
combinaciones algebraicas, circular, logarítmica y exponencial de la
primaria o elemental de las funciones. ... Que él escribe:
El punto principal de importancia, por lo tanto, es la elección de la
funciones elementales; y esta es una obra de cierta dificultad. Una función
sin embargo, viz. la integral $\int_x^\infty e^{-x^2}\mathrm dx$,
bien conocido por su uso en la física, es así que, obviamente, adecuado para el propósito,
que, con la excepción de la recepción de un nombre y un fijo en la notación, se puede
casi puede decirse que se han convertido ya en primaria... Como es necesario que
la función debe tener un nombre, y como no sé que ha
sugirió, propongo llamarlo " el Error de la función, en razón de su
primeros y aún más importante el uso en conexión con la teoría de la
Probabilidad, y en particular con la teoría de Errores, y a escribir
$$\int_x^\infty e^{-x^2}\mathrm dx=\mathrm{Fer}(x)$$
Glaisher va a demostrar el uso de $\mathrm{Fer}$ en la evaluación de un
variedad de integrales definidas. Todavía usamos el error de "función" y
$\mathrm{Fer}$, pero $\mathrm{Fer}$ se ha convertido en $\mathrm{fer}$, con una variación
de límites y una normalización de los factores:
$\mathrm{fer}(x)=\frac2{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\mathrm dt$ mientras Glaisher del
original de $\mathrm{Fer}$ se ha convertido en
$\mathrm{erfc}(x)=\frac2{\sqrt{\pi}}\int_x^\infty e^{-t^2}\mathrm dt$. La normalización de
factor $\frac2{\sqrt{\pi}}$ que $\mathrm{erfc}(0)=1$ no fue utilizado en
las primeras ediciones de la famosa "Curso de formación en Análisis Moderno" por Whittaker y
Watson. Ambos eran estudiantes y más tarde a los colegas de Glaisher, así como de otros
cardenales de Cambridge matemáticas/física: Maxwell, Thomson (Lord Kelvin)
Rayleigh, Littlewood, Jeans, Whitehead y Russell. Glaisher tenido una larga y
distinguida carrera en Cambridge y fue editor de La Revista Trimestral de
Matemáticas de cincuenta años, desde 1878 hasta su muerte en 1928.
Es lamentable que los cambios de Glaisher original de $\mathrm{Fer}$:
el interruptor de los límites, nombres y el factor de normalización, no se aplican a
lo Glaisher reconoció que fue su más importante de la aplicación: la normal
función de distribución, y por lo tanto
$\frac1{\sqrt{2\pi}}\int e^{-\frac12t^2}\mathrm dt$ no se convirtió en el
básicos de forma integral. Así que aquellos de nosotros que estén interesados en su más importante
la aplicación se queda con las conversiones de...
...Una búsqueda en Internet le mostrará muchas de las aplicaciones de lo que ahora llamamos
$\mathrm{fer}$ o $\mathrm{erfc}$ a problemas del tipo que parecía de
más interés para Glaisher y sus famosos colegas: soluciones integrales
de ecuaciones diferenciales. Estos incluyen la telegrapher de la ecuación,
estudiado por Lord Kelvin en conexión con el Atlántico por cable, y Kelvin de la
estimación de la edad de la tierra (25 millones de años), basado en la solución de
de una ecuación del calor para la fundición, la esfera (era de lejos porque de entonces
desconocido contribuciones de la desintegración radiactiva). Más reciente de Internet menciona
el uso de $\mathrm{fer}$ o $\mathrm{erfc}$ para la solución de
ecuaciones diferenciales incluyen corto-circuito de disipación de potencia en
ingeniería eléctrica, la corriente como una función del tiempo en un diodo de conmutación,
térmica de la difusión de la impedancia en los componentes eléctricos, la difusión de un
unidireccional de campo magnético, los tiempos de recuperación de la unión de los diodos y
la Mars Orbiter Laser Altimeter.
Por otro lado, para las aplicaciones donde la función de error es ser evaluados en el complejo de valores (espectroscopia, por ejemplo), probablemente la más "natural" de la función a considerar es Faddeeva (o Voigt) de la función:
$$w(z)=\exp\left(-z^2\right)\mathrm{erfc}(-iz)$$
allí, el factor de normalización simplifica la mayoría de las fórmulas en las que se utiliza. En definitiva, supongo que la elección de si se utiliza la función de error o la distribución normal CDF $\Phi$ o el Faddeeva función en sus aplicaciones es una cuestión de conveniencia.
