Existencia/unicidad de una función continua

Question

Me encontré con el siguiente problema con un amigo mientras estudiábamos para los exámenes. Ninguno de los dos sabe muy bien por dónde empezar. Parece una ecuación diferencial. Probablemente sea fácil, pero no conseguimos saber cómo proceder. Me gustaría poder decirte lo que intenté, pero después de pensar en este problema durante algún tiempo, simplemente no tengo ideas de ninguna sustancia real (aparte de lo que menciono después del enunciado del problema).

Aquí está la pregunta tal y como aparece en la antigua qual:

"Dejemos $K$ sea una función continua en el cuadrado unitario $0\leq x,y\leq1$ Satisfaciendo a $|K(x,y)|<1$ para todos $x$ y $y$ . Demuestre que existe una función continua $f(x)$ en $[0,1]$ tal que tenemos

$$f(x) + \int_0^1 f(y)K(x,y)dy=\sin(x^2)$$

donde $0\leq x \leq 1$ . ¿Puede haber más de una función de este tipo $f$ ?"

Diré que fui capaz de demostrar que dado $K$ tal y como es, $\exists\,C\in(0,1)$ tal que $|K|\leq C$ en el cuadrado, y que una función definida como

$$G(x)=\int_0^1 g(y)K(x,y) dy$$

será continua, suponiendo que $g$ es continua en $[0,1]$ .

Cualquier sugerencia o posible solución sería muy apreciada.

Answer 1

SUGERENCIA:

Dejemos que $f^{(n)}(x)$ viene dada por la relación recursiva

$$f^{(n)}(x)=\sin x^2-\int_0^1K(x,y)f^{(n-1)}(y)dy$$

con $f^{(0)}=0$ . Entonces, demuestre que

$$\begin{align} \left|f^{(n)}(x)-f(x)\right|&=\left|\int_0^1K(x,y)\left(f^{(n-1)}(y)-f(y)\right)dy\right|\\\\ &\le\int_0^1|K(x,y)|\left|f^{(n-1)}(y)-f(y)\right|dy\\\\ &<\lambda \left|\left|f^{(n-1)}(y)-f(y)\right|\right|_{\infty} \end{align}$$

para algunos $\lambda<1$ e iterar.

Answer 2

El Dr. MV ha cubierto la declaración de existencia bastante bien. Para obtener la unicidad, supongamos $f$ y $g$ son ambas funciones que satisfacen las condiciones. Entonces, tendríamos $$f(x) - g(x) = - \int_0^1 [f(y) - g(y)]K(x,y)\;dy$$

Dejemos que $x$ sea tal que $|f(x) - g(x)|$ es máxima en $[0,1]$ . Si $f(x) \not= g(x)$ , entonces podemos dividir por $f(x) - g(x)$ para obtener $$1 = - \int_0^1 \frac{f(y) - g(y)}{f(x) - g(x)} K(x,y)\; dy$$

Pero el término en el integrando siempre tiene un valor absoluto menor que $1$ .

Answer 3

Esto sólo pretende ser un comentario largo.

Sólo quiero que sepas que esto se puede probar fácilmente usando el Teorema del punto fijo de Banach que establece que si $X$ es un espacio métrico completo, entonces cualquier mapa $\;T:X \to X$ que es Lipchitz con constante menor que $1$ tiene un único punto fijo.

(Si estás cursando las pruebas, debes estar familiarizado con esto )

Veamos cómo esto implica el teorema anterior. Sea nuestro espacio métrico $X:=C[0,1]$ con la norma sup, y definir $T:X \to X$ como $$(Tf)(x) = \sin(x^2)-\int_0^1f(y)K(x,y)dy$$

Entonces $T$ es Lipchitz con constante menor que $1$ . De hecho, dejar que $\lambda := \sup_{x,y \in [0,1]} K(x,y)$ podemos demostrar fácilmente (utilizando el mismo tipo de argumento que en la respuesta del Dr. MV) que $$\|Tf-Tg\|_{\infty} \leq \lambda \|f-g\|_{\infty}$$

Así, por el teorema del punto fijo de Banach, $T$ tiene un único punto fijo $f_0$ , lo que da la existencia y la unicidad de su pregunta a la vez.

Observación: La respuesta dada por el Dr. MV es esencialmente la esencia de la demostración del teorema del punto fijo de Banach, pero sólo quería que conocieras el enunciado en el entorno más general.