Umbral óptimo de máxima verosimilitud

Question

Tengo un problema de decisión (detección) tratando de decidir entre los símbolos ${0,2}$ . Tengo las dos funciones de densidad de probabilidad: $$ f(z|s=0) = \begin{cases} 0.25z + 0.5, & -2\le\ z <0 \\ -0.25z + 0.5, & 0\le\ z \le\ 2 \end{cases} $$

y $$ f(z|s=2) = \begin{cases} 0.25z, & 0\le\ z <2 \\ -0.25z + 1, & 2\le\ z \le\ 4 \end{cases} $$

¿Cómo puedo demostrar matemáticamente que el valor óptimo del umbral $T$ para ese problema de decisión es igual a $1$ ?

Answer 1

Se intenta maximizar la probabilidad $\frac12R(T)$ para acertar, donde $$ R(T)=\int_{-\infty}^Tf(z\mid s=0)\,\mathrm dz+\int_T^{+\infty}f(z\mid s=2)\,\mathrm dz. $$ Así, $$ R'(T)=f(T\mid s=0)-f(T\mid s=2). $$ La función $R'$ es parcialmente afín, $R'(T)=0$ si $T\lt-2$ o $T\gt4$ , $R'(T)=\frac14T+\frac12$ si $-2\lt T\lt0$ , $R'(T)=-\frac12T+\frac12$ si $0\lt T\lt2$ , $R'(T)=\frac14T-1$ si $2\lt T\lt4$ .

En particular, $R'(T)\gt0$ si $-2\lt T\lt1$ y $R'(T)\lt0$ si $1\lt T\lt4$ . Se ve que $R(T)$ es máximo en $T=1$ .