Encuentra todos los polinomios enteros $f(p)$ que dividen $2^p–2$ para cada primo $p>2"

Question

Encuentra todos los polinomios $f(p)$ con coeficientes enteros que dividen a $2^p–2$ para cada primo $p>2$

Desde el pequeño teorema de Fermat podemos encontrar $2p, p, -2p, -p$ (y según comentarios, algunos polinomios constantes). Pero ¿hay otros, o podemos probar que grados superiores no funcionarán?

Answer 1

$(p-1)$ es par, sea $p-1=2k$, podemos escribir:

$2^p-2=2(2^{p-1}-1)=2(2^k-1)(2^k+1)=2(2^{\frac{p-1}{2}}-1)(2^{\frac{p-1}{2}}+1)$

Si $k=\frac{p-1}2=2m+1$ es impar tenemos:

$m=\frac{p-3}2$

Entonces:

$2^k-1=(2-1)(2^{2m}+2^{2m-1}+2^{2m-2}+ \cdot\cdot\cdot)=(2^{p-3}+2^{p-4}+2^{p-5}\cdot \cdot \cdot)$

También:

$2^k+1=(2+1)(2^{2m}-2^{2m-1}+2^{2m-2}-2^{2m-3} \cdot\cdot\cdot)=3(2^{p-3}-2^{p-4}+2^{p-5}-2^{p-7}\cdot \cdot \cdot)$

Por lo tanto, los factores de $2^p-2$ pueden ser a lo sumo ±2, ±p,3,$A=(2^{p-3}+2^{p-4}+2^{p-5}\cdot \cdot \cdot)$ y $B=(2^{p-3}-2^{p-4}+2^{p-5}-2^{p-7}\cdot \cdot \cdot)$. Ahora construimos una ecuación cuyas raíces son estos factores:

$[x-(2^n-2)](x±2)(x±p)(x-3)(x-A)(x-B)=0$

Podemos reescribir esta ecuación como:

$f(x,p)=(±2)(3)(±p)(2^n-2)\cdot A\cdot B$

El lado derecho de esta ecuación divide a $2^p-2$, por lo tanto el polinomio $f(x, p)$, en el lado izquierdo, lo divide.