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Encuentra todos los polinomios enteros f(p) que dividen 2^p–2 para cada primo $p>2"

Encuentra todos los polinomios f(p) con coeficientes enteros que dividen a 2^p–2 para cada primo p>2

Desde el pequeño teorema de Fermat podemos encontrar 2p, p, -2p, -p (y según comentarios, algunos polinomios constantes). Pero ¿hay otros, o podemos probar que grados superiores no funcionarán?

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Hay también polinomios constantes 1 y 2

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@J.W.Tanner Además, de manera similar, están los polinomios constantes -1 y -2. Además, nota que 3 y -3 también dividen siempre a 2^p - 2 para todo p impar (no solo primos), pero no puedes usar 3p o -3p ya que no funciona para p = 3. Por lo tanto, también están los polinomios constantes 6 y $-6.

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¿Qué dice el teorema fundamental del álgebra sobre los factores de un polinomio de grado p-1? ¿Qué sucede si algunos de los factores tienen raíces complejas?

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sirous Puntos 11

(p-1) es par, sea p-1=2k, podemos escribir:

2^p-2=2(2^{p-1}-1)=2(2^k-1)(2^k+1)=2(2^{\frac{p-1}{2}}-1)(2^{\frac{p-1}{2}}+1)

Si k=\frac{p-1}2=2m+1 es impar tenemos:

m=\frac{p-3}2

Entonces:

2^k-1=(2-1)(2^{2m}+2^{2m-1}+2^{2m-2}+ \cdot\cdot\cdot)=(2^{p-3}+2^{p-4}+2^{p-5}\cdot \cdot \cdot)

También:

2^k+1=(2+1)(2^{2m}-2^{2m-1}+2^{2m-2}-2^{2m-3} \cdot\cdot\cdot)=3(2^{p-3}-2^{p-4}+2^{p-5}-2^{p-7}\cdot \cdot \cdot)

Por lo tanto, los factores de 2^p-2 pueden ser a lo sumo ±2, ±p,3,A=(2^{p-3}+2^{p-4}+2^{p-5}\cdot \cdot \cdot) y B=(2^{p-3}-2^{p-4}+2^{p-5}-2^{p-7}\cdot \cdot \cdot). Ahora construimos una ecuación cuyas raíces son estos factores:

[x-(2^n-2)](x±2)(x±p)(x-3)(x-A)(x-B)=0

Podemos reescribir esta ecuación como:

f(x,p)=(±2)(3)(±p)(2^n-2)\cdot A\cdot B

El lado derecho de esta ecuación divide a 2^p-2, por lo tanto el polinomio f(x, p), en el lado izquierdo, lo divide.

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