Encuentre el intervalo en el que $m$ se encuentra para que la expresión $\frac{mx^2+3x-4}{-4x^2+3x+m}$ puede tomar todos los valores reales, $x$ ser real.
No sé cómo proceder con esta pregunta. He equiparado esta ecuación con $y$ para obtener una ecuación cuadrática: $(m+4y)x^2+(3-3y)x-(4+my)=0$ . Ahora no tengo ni idea de cómo puedo encontrar la respuesta. Una pequeña pista será de ayuda.
La solución de Momo es correcta excepto:
En m = 1, la función se reduce a -(x + 4)/(4x + 1), y el valor y = -1/4 no se realiza para ningún valor de x.
En m = 7, la función se reduce a -(7x - 4)/(4x - 7), y el valor y = -7/4 no se realiza para ningún valor de x.
Por tanto, la respuesta correcta es 1 < m < 7.
Sugerencia
$$f(x)=\frac{mx^2+3x-4}{-4x^2+3x+m}$$
La función $f$ debe estar sobre. Esto significa que:
$$p=\frac{mx^2+3x-4}{-4x^2+3x+m} \Rightarrow (m+4p)x^2+3x(1-p)-4-pm=0$$
La ecuación anterior debe tener raíces para cualquier $p \in \Bbb R$ . Esto significa que:
$$\Delta=9(1-p)^2+4(m+4p)(4+pm)\geq 0$$
para cualquier elección de $p$ .
$$(9+16m)p^2+(4m^2-46)p+9+16m \geq0$$
Entonces tenemos que analizar esa nueva ecuación cuadrática. Una vez que la expresión anterior debe ser siempre no negativo, entonces.
$$\Delta'=(4m^2-46)^2-4(9+16m)^2=(m^2-8m-16)(m^2+8m-7)\leq 0$$
Resolviendo la desigualdad anterior tenemos los valores de $m$ .
No sé si es la forma más sencilla pero yo haría esto:
1) Su ecuación ampliada $(m+4y)x^2+(3-3y)x-(4+my)=0$ necesita tener verdaderas raíces para todos $y$ por lo que es necesario tener $\Delta\ge 0$ para todos $y$
2) Su $\Delta$ es a su vez una desigualdad cuadrática en $y$ con coeficiente positivo, por lo que para tener $\Delta\ge 0$ para todos $y$ necesitas $\Delta_y\le 0$
Lo que te da $1\le m\le 7$
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