Por qué $\frac{dx}{|x|}$ es una medida de Haar en $\mathbb{R}\setminus\{0\}$

Question

Esto es en "Un curso en el análisis armónico abstracto por G.B. Follan en la página 45"

Por qué $\frac{dx}{|x|}$ es una medida de Haar sobre el grupo multiplicativo $\mathbb{R}\setminus\{0\}$

He empezado como sigue

$\frac{dax}{|ax|}=\frac{adx}{|ax|}$

pero no pude averiguar el resultado

Cualquier ayuda será muy apreciada

Answer 1

$\int_{aE} \frac 1 {|x|} \, dx =\int_{E} \frac 1 {|x|} \, dx$ para todos los conjuntos de Borel $E$ en $\mathbb R\setminus \{0\}$ y todos $a \neq 0$ (por un evidente cambio de variable). Esta es la definición de la medida de Haar.