Convergencia uniforme de operadores uniformemente acotados

Question

dejar $X,Y$ sean espacios de Hilberts con incrustación continua $X\hookrightarrow Y$ y $T_n$ una familia de operadores lineales uniformemente acotados, es decir \begin {align*} \exists c>0;:||T_n|_{ \mathcal {L}(X,Y)} \leq c \quad \forall n \in\mathbb {N}. \end {align*} Además, los operadores deben converger puntualmente, es decir \begin {align*} T_nx \to x \text { en } Y \quad \forall x \in X \end {align*} Ahora, dejemos que $\{x_m\}_{m}\subset X$ sea una secuencia acotada. ¿Es \begin {align*} \max_ {m \in\mathbb {N} ||x_m - T_nx_m|_Y \to 0 \text { como } n \to\infty \end {align*} ¿Sostenemos? Gracias a todos.

Answer 1

No. Básicamente, especializarse en el caso $X=Y=\ell^2$ (separable), llame a $S_n=id-T_n$ y considerar una secuencia densa $\{x^m\}_{m\in\Bbb N}\in B(0,1)$ . Se pregunta entonces si una secuencia acotada $S_n$ tal que $S_nx\to 0$ para todos $x$ debe satisfacer $\lVert S_n\rVert\to 0$ . Este no es el caso: llame a $S$ el cambio hacia atrás $(Sx)_k=x_{k+1}$ y considerar $S_n=S^n$ . $S^nx\to 0$ para todos $x$ pero $\lVert S^n\rVert=1$ .