Dado un plano, ¿existe un vector que apunte hacia el mayor dz cuando se mueve por dx y dy? ¿Cómo se llama ese vector?

Question

La pregunta me vino a la mente al tratar de explicar cómo se sube una rampa con el snowboard. Cuando no utilizas un borde y la tabla de snowboard es plana, sólo es estable si tu impulso va en línea recta hacia la rampa. Es probable que te caigas si tu velocidad está en ángulo. Así que intenté explicar a qué vector de la rampa hay que alinearse, pero me costó definirlo.

Sé que un plano puede definirse con un vector que sea perpendicular a él, pero hay muchos vectores que son paralelos a él. Si el eje Z es la gravedad, creo que "subir en línea recta" significa maximizar dz al pisar dx dy. Creo que sólo hay un vector de este tipo que es paralelo al plano. ¿Es un vector bien definido? ¿Tiene un nombre? También sospecho que dado tal vector, se podría derivar su origen intersectando el plano.

Answer 1

Supongamos que $Z$ es un vector unitario en la dirección vertical, y $N$ es un vector unitario que es normal al plano de la colina. Entonces el producto cruzado $H = N \times Z$ es la dirección horizontal de la pendiente. En otras palabras, si vas en la dirección de $H$ no ganará ni perderá altitud. El vector $N \times H$ te da la dirección de bajada más pronunciada. Creo que eso es lo que estás preguntando.

Esta dirección suele denominarse "dirección de descenso más pronunciado". Esta terminología proviene de la teoría de la optimización, donde a veces la mejor manera de llegar a un mínimo es ir cuesta abajo lo más rápido posible. El término " descenso de gradiente " también se utiliza.