Cómo demostrar que $3\mid F_n$ si y sólo si $4\mid n$ para $n \in \mathbb{N}$

Question

Estoy tratando de probar mi pregunta usando la inducción, primero traté de probar $4 \mid n \implies 3 \mid F_n$ y tengo esto:

Fijando el caso base en $n=0$ Lo entiendo. $F_0=0\mid 3$ así que tomé la siguiente $n \in \mathbb{N}$ que es divisible por $4$ es decir $n=4$ y $F_4=1+2=3\mid 3$

Dejemos que $F_k$ tal que $3 \mid F_k$ , demostraremos que $3\mid F_{k+4}$

$F_{k+4}=F_{k+3}+F_{k+2}$

$=F_{k+2}+F_{k+1}+F_{k+1}+F_k$

$=F_{k+1}+F_k+F_{k+1}+F_{k+1}+F_k$

$=3F_{k+1}+2F_k$

Desde $3 \mid F_k$ por hipótesis entonces $3 \mid 2F_k$

Claramente $3 \mid 3F_{k+1}$

Aquí no sé cómo seguir, ya que, para mí, parece que la prueba está hecha. Sin embargo aún queda una implicación, pero no sé cómo empezarla. Cualquier ayuda será agradecida.

Answer 1

Mod de trabajo $3$ la serie de Fibonacci es $$1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,\ldots$$

Es fácil demostrar que esto tiene periodo $8$ como se muestra arriba, con uno de cada cuatro términos siendo cero, y todos los demás siendo distintos de cero.