demuestran que la suma $\frac {1}{p_1} + \frac {1}{p_2} +\frac {1}{p_3} +...+\frac {1}{p_n}$

Question

Suponiendo que $P_{n}$ es el n-ésimo número primo, demuestre que la suma $\frac {1}{p_1} + \frac {1}{p_2} +\frac {1}{p_3} +...+\frac {1}{p_n}$ nunca es un número entero.

Llevo todo el día luchando con este problema no veo ni cómo empezar. Cualquier idea, ayuda por favor

Answer 1

Lo tenemos, $P_1=2, P_2=3\dots$ y así sucesivamente. Dije esto porque, deberías saber que sólo hay un primo par, es decir. $2$ , todos los demás primos son impar.

Ahora, considere el l.c.m. de $P_1, P_2,\dots ,P_n$ y llamar a esto $l$ . Mira esto, $l$ es un número par (es simplemente $P_1\times P_2\times\dots=2\times 3\times\dots$ ) .

Ahora, considera la suma $$S=\frac l{P_1}+\frac l{P_2}+\dots+\frac l{P_n}.$$

Tenga en cuenta que, $S$ es un número impar, porque, en los sumandos, el único término $\frac l{P_1}$ es impar, ya que el factor $2$ de $l$ se desvanece, y otros son parejos, porque allí el factor $2$ nunca desaparece.

Ahora, $$\frac Sl=\frac 1{P_1}+\frac 1{P_2}+\dots+\frac 1{P_n}.$$ Desde $S$ es impar y $l$ es par, la fracción no puede ser entera, por lo tanto, su afirmación.

Answer 2

Sugerencia : Multiplícalo por el producto de esos primos. ¿Es el resultado un múltiplo de $p_1$ ?

Answer 3

Para empezar, basta con elegir las restricciones del problema. Por ejemplo, fíjate en que hay un número finito de primos, por lo que hay uno mayor. Los primos tienen una factorización primaria muy sencilla (y los primos enteros son indivisibles). Además, una fracción que es un entero tiene una forma muy especial.

Intenta hacer algo de álgebra básica para obtener una ecuación de aspecto más agradable: una ecuación con algunas cosas que se multiplican/suman en un lado y otras que se multiplican/suman en el otro.