¿Por qué la matriz de difusividad (del operador elíptico) debe mapear el espacio tangente a sí mismo?

Question

He visto que un operador elíptico $A$ en una hipersuperficie $\Gamma$ , escrito como $$Au=-\nabla_\Gamma \cdot (M(x)\nabla_\Gamma u)$$ (donde $\nabla_\Gamma$ es el gradiente tangencial o de superficie) se limita a satisfacer

La matriz $M(x)$ debe mapear el espacio tangente en $x$ a sí mismo de nuevo.

¿Por qué?

Así que $M$ no puede ser en general una matriz constante

Lo cual me sorprende un poco.

Answer 1

Si consideramos $\nabla_\Gamma$ para ser el operador de derivada covariante asociado a la métrica $g_\Gamma$ en la hipersuperficie $\Gamma$ inducido a partir de la métrica $g$ en la variedad ambiental, entonces para dos campos vectoriales tangentes cualesquiera $X$ , $Y$ en $\Gamma$ , $(\nabla_\Gamma)_X Y$ es también un campo vectorial en $\Gamma$ y por lo tanto podemos además ver el mapa $\nabla_\Gamma Y: X \to (\nabla_\Gamma)_X Y$ como una transformación lineal que actúa sobre los espacios tangentes de $\Gamma$ . La divergencia de $\nabla_\Gamma \cdot Y$ de $Y$ con respecto al operador $\nabla_\Gamma$ puede definirse, de manera independiente de las coordenadas, como la traza de este mapa. (Esta es una de las muchas definiciones equivalentes de $\nabla_\Gamma \cdot Y$ .) Así, vemos que $\nabla_{\Gamma} \cdot Y$ sólo se define para los campos vectoriales $Y$ tangente a $\Gamma$ por lo que el rango de $M(x)$ debe en cada punto $x$ mienten en $T_x\Gamma$ el espacio tangente a $\Gamma$ en $x$ .

Es $M(x)$ ¿constante? Bueno, eso depende de lo que entendamos por "constante". Ciertamente hay endomorfismos lineales del haz tangente de $\Gamma$ que son covariantemente constantes con respecto a $\nabla_\Gamma$ el mapa de identidad es quizás el mejor ejemplo. Y de hecho, si consideramos el endomorfismo de identidad en el haz tangente del espacio ambiente, vemos que proporciona un ejemplo que es constante en el espacio ambiente y también se restringe a un mapa constante en $T\Gamma$ . Pero si escribimos $I_{\text{ambient}} = P(x) + (I_{\text{ambient}} - P(x))$ , donde $P(x)$ es la proyección sobre el espacio tangente $T_x\Gamma$ de $\Gamma$ vemos que $P(x)$ en general no es constante cuando se considera en función de $x$ ya que los espacios tangentes de $\Gamma$ varían de un punto a otro en general. Pero $I_{\text{ambient}}$ en sí mismo no cambia; sólo el $M(x)$ subespacio invariante $\text{Im}P(x) = T_x\Gamma$ hace. Por otro lado, si tomamos $L(x)$ para ser cualquier matriz que en realidad varía con $x$ , entonces para $x \in \Gamma$ , $P(x)L(x)$ mapas $T_x \Gamma$ a sí mismo; al componer tal $L(x)$ con $P(x)$ para obtener $M(x) = P(x)L(x)$ ejemplos de no-constantes $M(x):T_x \Gamma \to T_x \Gamma$ puede obtenerse; de hecho, es fácil ver que todos esos $M(x)$ son de esta forma. Por lo tanto, está claro que $M(x)$ puede sea constante, pero Necesito no lo sea. De hecho, tomando $M(x)$ al endomorfismo covariantemente constante $I_\Gamma$ produce

$Au=-\nabla_\Gamma \cdot \nabla_\Gamma u, \tag{1}$

es decir, el operador diferencial $A$ es el laplaciano ordinario en $\Gamma$ en este caso. Pero otros, no constantes $M(x)$ pueden introducirse para abordar aplicaciones específicas.

Para terminar, me gustaría señalar un ejemplo de ecuación de la forma general

$Au=-\nabla_\Gamma \cdot (M(x)\nabla_\Gamma u) \tag{2}$

en el que $M(x)$ suele variar de un punto a otro, y que también tiene cierto contenido geométrico. Sea $R_\Gamma$ sea el campo tensorial de Ricci asociado a la métrica $g_\Gamma$ es un tensor simétrico de tipo $(0, 2)$ es decir, se puede interpretar en cada punto $x \in \Gamma$ como un mapa bilineal $R_\Gamma:T_x \Gamma \times T_x \Gamma \to \Bbb R$ con $R_\Gamma(x, y) = R_\Gamma(y, x)$ para $x, y \in T_x\Gamma$ . Correspondiente a $R_\Gamma$ existe un campo tensorial de tipo $(1, 1)$ que denotaré por $R_\Gamma^*$ , de tal manera que $g_\Gamma(x, R_\Gamma^*(y)) = R_\Gamma(x, y)$ para todos $x, y$ . $R_\Gamma^*$ puede interpretarse como un endomorfismo $R_\Gamma^*:T_x \Gamma \to T_x \Gamma$ por lo que tenemos un operador diferencial parcial de segundo orden $A_{R_\Gamma^*}$ definidos en funciones $u$ en $\Gamma$ a través de

$A_{R_\Gamma^*}u = -\nabla_\Gamma \cdot (R_\Gamma^*(\nabla_\Gamma u)); \tag{3}$

Creo que $A_{R_\Gamma^*}$ es elíptica en el caso de que $R_\Gamma$ o $R_\Gamma^*$ es definitiva, ya sea positiva o negativa. También creo que esta ecuación tiene algún contenido geométrico diferencial, pero en este momento no puedo decir exactamente cuál puede ser. Sin embargo, la ecuación (3) proporciona un ejemplo de la clase de operadores (2) en la que $M(x) = (R_\Gamma^*)(x)$ en general no será constante.

Espero que esto ayude. Adiós,

y como siempre,

¡¡Fiat Lux!!