Una pregunta sobre un paso que implica la constante de integración en la resolución de esta ecuación diferencial lineal

Question

Los siguientes son algunos pasos para resolver una ecuación diferencial $$\begin{align} & (1-z)^2 g'(z) - 2(1-z) g(z) + 1 = - b g(z)\\ \iff & g'(z) + \left[ -\frac{2}{1-z} + \frac{b}{(1-z)^2}\right] g = - \frac{1}{(1-z)^2}\\ \iff & \frac{d}{dz}\left[ (1-z)^2 e^{bz/(1-z)} g(z) \right] = - e^{bz/(1-z)}\\ \implies & g(z) = \frac{1}{(1-z)^2}e^{-bz/(1-z)}\left[ 1 - \int_0^z e^{bt/(1-t)} dt \right] \\ & = \frac{1}{1-z} - \frac{b}{(1-z)^2} e^{-b/(1-z)}\left[{\mathrm {Ei}}\left(\frac{b}{1-z}\right) - {\mathrm {Ei}}(b)\right] \end{align}$$

Este es un resultado dado en uno de mis respuestas . Tengo curiosidad por saber cómo se ha llegado a esto porque el usuario no incluye una constante de integración. Con la constante tendríamos $$\frac{1}{1-z} - \frac{b}{(1-z)^2} e^{-b/(1-z)}\left[{\mathrm {Ei}}\left(\frac{b}{1-z}\right) - \frac{c_1}{b}\right]$$ ¿Por qué eligió $c_1=b\mathrm{Ei}(b)$ ?

Answer 1

Esto se explicó en una respuesta anterior que ha sido borrada: https://math.stackexchange.com/questions/2218708/some-algebra-steps-confusion#comment4564303_2218708 .

De hecho, la solución general de la EDO es : $$g(z)=\frac{1}{1-z} - \frac{b}{(1-z)^2} e^{-b/(1-z)}\left[{\mathrm {Ei}}\left(\frac{b}{1-z}\right) - \frac{c_1}{b}\right] \tag 1$$ Para determinar un único $g(z)$ hay que añadir una condición. La condición $g(0)=1$ implica $c_1=b\mathrm{Ei}(b)$ y la solución particular relacionada es $$g(z)= \frac{1}{1-z} - \frac{b}{(1-z)^2} e^{-b/(1-z)}\left[{\mathrm {Ei}}\left(\frac{b}{1-z}\right) - {\mathrm {Ei}}(b)\right] \tag 2$$

En otra respuesta Relación de recurrencia dura , en el que se utiliza el método de resolución con series, se supone que : $$(g(z)-1) - 2zg(z) + (z + z^2g(z)) = (1-z)^2 g(z) + (z-1) = -b\int_0^z g(t)dt \tag 3 $$ Se observa que esta suposición es válida con $z=0$ y $g(0)=1$ . Por supuesto, esto determina una solución única como se ha explicado anteriormente. Pero la contrapartida es que la solución general no está dada explícitamente.

Esto explica que se obtenga una solución particular (2) en lugar de la solución general (1).

De hecho, $c_1=b\mathrm{Ei}(b)$ no fue voluntaria y explícitamente elegida. Proviene de una condición implícita introducida en el cálculo (en la línea cuya copia es la Ec. 3 anterior).