Encuentra los vectores cuando se suman igual (1, 1, 1)

Question

Pregunta:

Dejemos que $V$ sea el subespacio 2-dim de $\mathbb R^3$ abarcados por $(1, 2, -3)$ y $(-2, 0, 1)$ . Escribe el vector $u = (1,1,1)$ en la forma $u = v + w$ , donde $v$ está en $V$ y $w$ está en $V^\perp$ que es el subespacio ortogonal a $V$ .

Lo que he probado:

Así que encontré un vector que era linealmente independiente a los dos vectores dados: $(0, 0, 1)$ . Luego utilicé el proceso Gram-Schmidt para encontrar un vector ortogonal a ambos. Encontré $(2, 5, 4)$ es ortogonal a $(1, 2, -3)$ y $(-2, 0, 1)$ . Sin embargo, después de obtener los vectores unitarios, no sé cómo proceder. No importa qué vectores sume, no obtengo $u$ .

Mis vectores unitarios eran: $$u_1 = (1,2,-3)/\sqrt14$$ $$u_2 = (23,-10,1)/(3\sqrt(70)$$ $$u_3 = (2,5,4)/(3\sqrt5)$$

Por favor, díganme cómo obtener los vectores para que cuando sume $v+w$ será igual a $(1,1,1)$ . Gracias.

Answer 1

Estas dos ecuaciones deberían ser suficientes:

1) La suma $w+v=(1,1,1)$

2) $u.v=0$ , donde $.$ es el producto punto.

Equivalentemente, $v=\frac {<(1,1,1),(1,2,-3)>}{||(1,2,-3)||}(1,2,-3)+\frac{<(1,1,1),(-2,0,1)>}{||(-2,0,1)||}(-2,0,1))$ , donde $<,>$ es el producto punto estándar en $\mathbb R^3$ y $||v||$ es la longitud estándar (al cuadrado) dada por $<v,v>$ .

Esto le dará la proyección sobre el tramo de { $(1,2,-3),(-2,0,1)$ }. Luego se obtiene el vector en la otra dirección restando el resultado anterior de $(1,1,1)$ .

La fórmula general para proyectar $v$ en el subespacio abarcado por { $u_1, u_2$ } es $$ \frac {<v,u_1>}{<u_1, u_1>}u_1 + \frac {<v,u_2>}{<u_2, u_2>}u_2 $$

Answer 2

Has encontrado una base. Que estos vectores sean las columnas de una matriz $A$ y resolver $Ax=(1,1,1)^T $ .

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Dejemos que $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 5 & 2 & 0 \\ 4 & -3 & 1 \end{pmatrix}$ .

Computar $$Ax = \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1\end{pmatrix}.$$

Resolviendo, obtenemos $x = \begin{pmatrix} \frac{11}{45} \\ -\frac{1}{9} \\ -\frac{14}{45}\end{pmatrix}$ .

Ahora, vamos a calcular $\frac{11}{45}\begin{pmatrix}2 \\ 5 \\4\end{pmatrix} - \frac{1}{9}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3\end{pmatrix} - \frac{14}{45}\begin{pmatrix} -2\\0\\1\end{pmatrix}$ :

$$\color{blue}{\frac{11}{45}\begin{pmatrix}2 \\ 5 \\4\end{pmatrix}} \color{red}{-\frac{1}{9}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3\end{pmatrix} - \frac{14}{45}\begin{pmatrix} -2\\0\\1\end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} \frac{22}{45} - \frac{5}{45} + \frac{28}{45} \\ \frac{55}{45} - \frac{10}{45} - \frac{0}{45} \\ \frac{44}{45} + \frac{15}{45} - \frac{14}{45} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{45}{45} \\ \frac{45}{45} \\ \frac{45}{45} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.$$

Ahora, el término en $\color{blue}{\textrm{blue}}$ es un vector en $V^\perp$ y el término en $\color{red}{\textrm{red}}$ es una combinación lineal de vectores en $V$ . Desde $V$ es un subespacio, es algebraicamente cerrado bajo combinaciones lineales de sus elementos; por lo tanto, el término rojo está en $V$ .

Por lo tanto, dejemos que $v$ sea el $\color{red}{\textrm{red}}$ y que $w$ sea el $\color{blue}{\textrm{blue}}$ término, y hemos terminado.