Que la secuencia $\{d_{n}\}$ Ahora da el número entero positivo $p$ dejemos $d_{n}=\gcd(n^2+p,(n+1)^2+p)$ .demostrar que $\{d_{n}\}$ es periódica.y encontrar el $d_{n}$ valor de la posible ?
desde $$d_{n}=\gcd(n^2+p,(n+1)^2+p-n^2-p)=(n^2+p,2n+1)$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Nota : La pregunta original era determinar si $d_n =\gcd(a_{n}+p,a_{n+1}+p)$ es periódico, donde $p$ es un número entero positivo mientras que $(a_n)$ satisface
$$ a_{n+1}=2a_{n}-{a_{n-1}}+\frac{1}{n}(a_{n}-a_{n-1}+1),\ a_1 = 1,\ a_2 = 4.$$
Siéntase libre de saltarse esta parte.
Definir $b_n = a_{n+1} - a_n + 1$ . Entonces $b_1 = 4$ y la relación $(1)$ se convierte en
$$ b_n = b_{n-1} + \frac 1n b_{n-1} = \frac{n+1}n b_{n-1} = \frac{n+1}n\cdot\frac n{n-1}\cdots \frac 43\cdot\frac 32 b_1 = 2(n+1)$$ lo que implica que $a_{n+1}-a_n = 2n + 1$ . Si recordamos la fórmula $\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1) = n^2$ vemos inmediatamente que $a_n = n^2.$ Así, $$d_n=\gcd(n^2+p,(n+1)^2+p)$$
Utilizamos la fórmula conocida $\gcd(a,b) = \gcd(a-b,b)$ para conseguirlo:
$$d_n=\gcd(n^2+p,2n+1)$$ y porque $2n+1$ es impar, tenemos $$d_n=\gcd(2(n^2+p),2n+1) = \gcd(2p-n,2n+1) = \gcd(2p-n,4p+1)\tag{1}$$
donde la segunda igualdad se debe a $$2(n^2+p) = n(2n+1)+2p-n,$$ mientras que la tercera se debe a $$2n+1=-2(2p-n)+4p+1.$$
Fórmula $(1)$ nos da mucho. En primer lugar, podemos ver que $d_n\mid 4p+1$ para todos $n\in\Bbb N$ . Además, vemos que $d_n$ es periódica con periodo $4p+1$ :
$$d_{n+4p+1} = \gcd(2p-n-(4p+1),4p+1) = \gcd(2p-n,4p+1) = d_n.$$
Además, $d_{2p} = 4p+1$ y si $d\mid 4p+1$ , $d\neq 4p+1$ entonces $$d_{2p+kd} = \gcd(2p-(2p+kd),4p+1) = \gcd(kd,4p+1) = d$$ cuando $\gcd(k,4p+1) = 1$ por lo que todo divisor $d$ de $4p+1$ se producirá en secuencia $(d_n)$ con el período $d$ (con excepción de cuando el divisor mayor debe "ocupar el mismo lugar", lo que ocurre siempre que tenemos $\gcd(k,4p+1) \neq 1$ ). Además, la secuencia es simétrica alrededor de $2p$ ya que $$d_{2p-k} = \gcd(k,4p+1)=\gcd(-k,4p+1) = d_{2p+k}.$$
Para visualizar estos patrones, primero hay que $90$ términos cuando $p=11$ (empezando por $d_0$ ):
$$1, 3, 5, 1, 9, 1, 1, 15, 1, 1, 3, 1, 5, 9, 1,\\ 1, 3, 5, 1, 3, 1, 1, 45, 1, 1, 3, 1, 5, 3, 1,\\ 1, 9, 5, 1, 3, 1, 1, 15, 1, 1, 9, 1, 5, 3, 1,\\ 1, 3, 5, 1, 9, 1, 1, 15, 1, 1, 3, 1, 5, 9, 1,\\ 1, 3, 5, 1, 3, 1, 1, 45, 1, 1, 3, 1, 5, 3, 1,\\ 1, 9, 5, 1, 3, 1, 1, 15, 1, 1, 9, 1, 5, 3, 1$$
Observe que $4p+1 = 45$ que se produce como $d_{2p}$ , $3$ se produce con el periodo $3$ , excepto en los lugares en los que $9$ es, cuando $3$ y $5$ se superponen, obtenemos $15$ en su lugar, etc.
