Una vez encontré este problema
Encuentre la forma de todos los $n$ tal que $$3 \cdot 5^{2n+1}+2^{3n+1}=0 \pmod{17}$$ Empecé escribiendo los residuos $\pmod{17}$ de $3 \cdot 5^{k}$ y $2^k$ $$3 \cdot 5^1+2 \equiv 0\pmod{17},\,2^1+15\equiv 0 \pmod{17}$$ $$3 \cdot 5^2+10\equiv 0\pmod{17},\,2^2+13\equiv 0 \pmod{17}$$ $$3 \cdot 5^3+16\equiv 0\pmod{17},\,2^3+9\equiv 0 \pmod{17}$$ $$3 \cdot 5^4+12\equiv 0\pmod{17},\,2^4+1\equiv 0 \pmod{17}$$ $$3 \cdot 5^5+9 \equiv 0\pmod{17},\,2^5+2\equiv 0 \pmod{17}$$ $$3 \cdot 5^6+11\equiv 0\pmod{17},\,2^6+4\equiv 0 \pmod{17}$$ $$3 \cdot 5^7+4 \equiv 0\pmod{17},\,2^7+8\equiv 0 \pmod{17}$$ $$3 \cdot 5^8+3 \equiv 0\pmod{17},\,2^8+16\equiv 0 \pmod{17}$$ $$3 \cdot 5^9+15\equiv 0\pmod{17}$$ $$3 \cdot 5^{10}+7\equiv 0\pmod{17}$$ $$3 \cdot 5^{11}+1\equiv 0\pmod{17}$$ $$3 \cdot 5^{12}+5\equiv 0\pmod{17}$$ $$3 \cdot 5^{13}+8\equiv 0\pmod{17}$$ $$3 \cdot 5^{14}+6\equiv 0\pmod{17}$$ $$3 \cdot 5^{15}+13\equiv 0\pmod{17}$$ $$3 \cdot 5^{16}+14\equiv 0\pmod{17}$$ Y cuando emparejé los residuos para que "completaran el $17$ " He encontrado la relación que $$3 \cdot 5^{16m+6k+1}+2^{8n+k+1}=0\pmod{17}$$ para todos $m,n,k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$
Entonces resolver diáfanamente con los exponentes es fácil, pero mi pregunta en esencia es: ¿Por qué ocurre esto? No me refiero a $m$ o $n$ sino a $k$ . Es trivial que los residuos se repitan después de algún periodo, pero no encuentro una razón para el $k,6k$ . No creo que $3,5,2$ son los únicos números en absoluto. Y: ¿Existe una fórmula/algoritmo general para esto? Cualquier idea es muy apreciada.
