El punto periódico elemental es un conjunto finito en una variedad compacta

Question

Dejemos que $f: M \to M$ para ser un difeomorfismo donde $M$ es una variedad compacta de dimensión finita. Decimos que un punto fijo $p$ (es decir, $f(p)=p$ ) es elemental si $1 \notin sp(Df_{p})$ . Supongamos que cada punto fijo de $M$ es un punto fijo elemental.

Reclamación: Sólo existe un número finito de puntos fijos elementales.

He intentado demostrar que los puntos elementales son conjuntos discretos, pero estoy atascado en esto.

El enunciado es de los sistemas dinámicos de Robinson.

Gracias.

Answer 1

Tratemos el problema localmente. Dejemos que $p\in M$ sea un punto fijo elemental. Utilizando gráficos, se puede suponer que $p=0$ y que $f(0)=0$ . Si $1\notin\operatorname{Sp}(Df_0)$ entonces $D(f-\operatorname{Id})_0$ es invertible. Entonces, por el teorema de la función inversa, $f-\operatorname{Id}$ es inyectiva en alguna vecindad $U$ de $0$ . Pero entonces, como $(f-\operatorname{Id})(0)=0$ , si $q\in U\setminus\{0\}$ entonces $(f-\operatorname{Id})(q)\neq q$ . En otras palabras, $f(q)\neq q$ . Así que, cerca de $0$ no hay otros puntos fijos. Volviendo a la situación original, se deduce que cerca de $p$ no hay otros puntos fijos.

Por lo tanto, los puntos fijos elementales forman un conjunto discreto.