Valores propios y espacios propios de AB

Question

El problema: Consideremos dos matrices $A, B \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ . Supongamos que $A$ tiene tres valores propios reales distintos $\lambda_1, \lambda_2$ y $\lambda_3$ con sus respectivos eigenspaces $E_{\lambda_1}, E_{\lambda_2}$ y $E_{\lambda_3}$ . Supongamos además que $B$ tiene dos valores propios reales distintos $\mu_1$ y $\mu_2$ con sus respectivos eigenspaces $E_{\mu_1} = \text{span}(E_{\lambda_1}, E_{\lambda_2})$ (el espacio abarcado por $E_{\lambda_1}$ y $E_{\lambda_2}$ ) y $E_{\mu_2} = E_{\lambda_3}$ .

1) Determine los valores propios y los correspondientes espacios propios de $AB$ .

2) Demuestre que $AB = BA$ .

Intento de solución: No tengo ni idea de cómo hacerlo. He intentado escribir $\det(A - x \mathbb{I}_3) = (-1)^3 (x- \lambda_1) (x- \lambda_2) (x- \lambda_3)$ y luego utilizando el hecho de que $\det(AB) = \det(A) \det(B)$ . Pero luego me di cuenta de que la ecuación característica no necesariamente tiene que dividirse así ?

Answer 1

Hay una base $\{ e_1,e_2,e_3 \}$ de vectores propios de $A$ porque hay tres valores propios distintos para el $3\times 3$ matriz $A$ y los vectores propios no nulos correspondientes a valores propios distintos forman un conjunto linealmente independiente. Estos vectores propios son también vectores propios de $B$ . Así que ambos $A$ y $B$ son diagonalizables con respecto a esta base. En esta base, $$A = \left[\begin{array}{ccc}\lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3\end{array}\right] \;\;\; B = \left[\begin{array}{ccc}\mu_1 & 0 & 0 \\ 0 & \mu_1 & 0 \\ 0 & 0 & \mu_2\end{array}\right]$$

Por lo tanto, $A$ y $B$ conmutan en este sistema de bases, lo que significa que conmutan, es decir, $AB=BA$ .

Dejemos que $e_j$ sea un vector no nulo en $E_{\lambda_j}$ para $j=1,2,3$ . Entonces $\{ e_1,e_2,e_3 \}$ satisfacer $$\begin{array}{cc} Ae_1 = \lambda_1 e_1 & Be_1 = \mu_1 e_1,\\ Ae_2 = \lambda_2 e_2 & Be_2 = \mu_1 e_2, \\ Ae_3 = \lambda_3 e_3 & Be_3 = \mu_2 e_3. \end{array}$$ Eso es suficiente para trabajar $AB$ actuando sobre esta base $\{e_1,e_2,e_3\}$ : $$ABe_1 = A(\mu_1 e_1) = \mu_1 Ae_1 = \mu_1 \lambda_1 e_1 \\ ABe_2 = A(\mu_1 e_2) = \mu_1 Ae_2 = \mu_1 \lambda_2 e_2 \\ ABe_3 = A(\mu_2 e_3) = \mu_2 Ae_3 = \mu_2\lambda_3 e_3$$ Esto también se deduce al multiplicar las representaciones matriciales diagonales de $A$ y $B$ .