Conclusión como un functor entre topológica de los anillos

Question

En el siguiente todos los anillos son asumidos para ser conmutativo y unitario.

Preliminares:

Para cualquier topológico anillo de $R$ podemos formar su terminación $\widehat{R}$ tomando todas las secuencias de Cauchy modulo null secuencias. Esto es de nuevo un anillo y podemos considerar la posibilidad de terminar como functor $\textbf{RingTop} \to \textbf{Ring}$.

Si $R$ es incluso un lineales topológicos anillo - es decir, que admite un sistema fundamental de vecindades de 0 consta de ideales, decir $R \supseteq I_1 \supseteq I_2 \supseteq \dots$ - a continuación, $\widehat{R}$ lleva un canónica topología lineal dado por $\widehat{R} \supseteq \widehat{I_1} \supseteq \widehat{I_2} \supseteq \dots$, lo que convierte a la finalización en un functor $\textbf{LRingTop} \to \textbf{LRingTop}$ entre lineales topológicos de los anillos.

Pregunta:

Es posible recambio linealidad y la finalización del giro en un functor $\textbf{RingTop} \to \textbf{RingTop}$ en un canónica de manera que cubre las consideraciones anteriores, y además ha $\widehat{\mathbb{Q}} \cong \mathbb{R}$ como caso especial?

Si no es así: hay un contraejemplo que ilustra las dificultades en la definición canónica de la topología en $\widehat{R}$, lo que convierte a la finalización en un functor en la no-lineal de caso?

Gracias por la ayuda!

Answer 1

Separados de las terminaciones están disponibles de forma más general, para el uniforme de los espacios, una referencia es Bourbaki del Topologie générale, Capítulo II, Apartado 3. Aquí están algunos detalles:

Deje $X$ ser un espacio uniforme. Si $V$ es un séquito de $X$, entonces un subconjunto $A \subseteq X$ se llama pequeña de orden $V$ al $A \times A \subseteq V$. Un filtro en $X$ se llama un filtro de Cauchy si contiene un conjunto pequeño de orden $V$ por cada entourage $V$. Cauchy filtros que son mínimos con respecto a $\subseteq$ constituyen un conjunto $\widehat{X}$, lo que en realidad lleva una estructura uniforme. Un sistema fundamental de séquitos es dada por los grupos de un mínimo de Cauchy filtros que contienen un determinado conjunto pequeño de orden $V$ donde $V$ es un entorno en $X$. A continuación, $X \mapsto \widehat{X}$ es un functor que queda adjunto a la functor de separados uniforme completo de los espacios a los uniformes de los espacios.

La conclusión es compatible con los productos, por lo que se restringe a la finalización de uniforme estructuras algebraicas. El caso de topológico abelian de los grupos (que admitir canónica de estructura uniforme) es tratada en la loc. cit., El capítulo III, Párrafo 3. Esto también puede ser aplicado a topológica de los anillos.