familia de difeomorfismo de un parámetro $\phi_{t}$ de $\mathbb{R}^2$

Question

Tengo la siguiente pregunta:

La familia de difeomorfismo de un parámetro $\phi_{t}$ de $\mathbb{R}^2$ a sí mismo para $t\in (\pi,\pi)$ se define en coordenadas polares $(r,\theta)$ por $$\phi_t(r,\theta)=(rcos(\theta+t),rsin(\theta+t))$$ y $\phi_{t}(0)=0$ para todos $t$ es decir, el origen es fijo.

Calcular la derivada $X=\frac{d\phi_t}{dt}_{t=0}$ .

Dejemos que $M_{s}:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2$ sea la derivada del mapa $\phi_s$ para un fijo $s$ . ¿Cuál es la relación entre $M_{s}(X)$ y $\frac{d\phi_t}{dt}_{t=s}$ .

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Mis esfuerzos:

Primero cambié todo a coordenadas cartesianas poniendo $x=rcos(\theta)$ y $y=rsin(\theta)$ .

Así que $\phi_t(x,y)=(xcos(t)-ysin(t), xsin(t)+ycost(t))$ . Así que $$\phi_t=\begin{pmatrix} cost(t) & -sin(t) \\ sin(t) & cos(t) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ .

Obsérvese que esta matriz es una matriz de rotación.

Ahora $$\frac{d\phi_t}{dt}=\begin{pmatrix} -sin(t) & -cos(t) \\ cos(t) & -sin(t) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

Poniendo $t=0$ obtenemos $X(x,y)=(-y,x)$

Ahora encuentro $$M_s=\begin{pmatrix} cos(s) & -sin(s) \\ sin(s) & cos(s) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

Espero que mis cálculos sean correctos.

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No soy capaz de resolver la última parte. Relación entre $M_{s}(X)$ y $\frac{d\phi_t}{dt}_{t=s}$ .

Lo segundo, no entiendo qué está pasando aquí geométricamente.

¿Esta pregunta está relacionada con el concepto de flujo, campo vectorial, curvas integrales? (¡Sólo una suposición!)

He hecho los cálculos (ya que era fácil) pero no entiendo la teoría. ¿Qué está pasando aquí en el fondo? Supongo que está relacionado con el campo vectorial ...

Answer 1

$\bullet$ Sólo hay que utilizar la regla de la cadena para las funciones suaves $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^1$ es decir

\begin {align*} \frac {d \phi_t }{d t} \Bigr |_{t = 0} &= \nabla \phi_0 \cdot \gamma '(0) \\ \\ &= \begin {pmatrix} \frac { \partial \phi_t }{ \partial r} \Bigr |_{t=0} & \frac { \partial \phi_t }{ \partial \theta } \Bigr |_{t = 0} \end {pmatrix} \begin {pmatrix} \frac { \partial x}{ \partial t} \Bigr |_{t=0} \\ \frac { \partial y}{ \partial t} \Bigr |_{t=0} \end {pmatrix} \end {align*}

donde,

\begin {casos} \gamma (t) = (r \cos ( \theta + t), r \sin ( \theta + t)) \\ \\ \phi_t (r, \theta ) = (x(r, \theta t), y(r, \theta ,t)) = (x,y) \end {casos}

$\bullet$ Para la relación entre las derivadas , primero hay que recordar que $\phi_{m+n} = \phi_{m} \circ \phi_n = \phi_n \circ \phi_m$ . A continuación definimos el campo vectorial,

$$\textbf{v}(x_0)=\frac{d}{dt}\Bigr|_{t = 0} \phi_t(x_0), x_0 \in \mathbb{R}^2$$

es decir $\textbf{v}$ da la tasa de cambio inicial de $x_0$ bajo la $1$ -subgrupo de parámetros. Ahora sólo manipulamos la notación de Leibniz,

$$ \frac{d \phi_t}{dt} \Bigr|_{t = s} = \frac{d (\phi_{\epsilon + s})}{d\epsilon} \Bigr|_{\epsilon = 0} = \frac{d}{d \epsilon} \Bigr|_{\epsilon = 0} (\phi_{\epsilon} \circ \phi_s) = \textbf{v}(\phi_s)$$

Por lo tanto, si quiere saber cómo $\phi_s$ se mueve $p \in\mathbb{R}^2$ , sólo hay que tomar el campo de velocidad $\textbf{v}$ y traducirlo al punto $p$ .

$\bullet$ Geométricamente lo que ocurre es que se está tomando una partícula en un círculo de radio $r$ centrado en el origen y moviéndolo a lo largo de este círculo por $t$ añadiendo al ángulo.