Expectativa del tiempo de absorción para un paseo aleatorio que se mantiene en n con probabilidad 1/2

Question

Un paseo aleatorio se mueve de k a k+1 con probabilidad 1/2 y a k-1 con probabilidad 1/2, excepto cuando k=n, en cuyo caso permanece en n con probabilidad 1/2 y se mueve a n-1 con probabilidad 1/2. Supongamos que comienza en n. Sea T la primera vez que el camino llega a 0. ¿Cuál es el valor esperado de T?

¿Existe una manera fácil de resolver esto utilizando hechos bien conocidos sobre las cadenas de Markov? Se trata del problema 2.3 del libro Markov Chains and Mixing Times (de David A. Levin, Yuval Peres y Elizabeth Wilmer). Su solución es claramente errónea, ya que parece suponer que el camino baja a n-1 con probabilidad 1.

Answer 1

La regla general para $k\ne n$ produce la recurrencia

$$t_k=\frac{t_{k-1}+t_{k+1}}2+1$$

con solución general

$$t_k=-k^2+ak+b\;.$$

Las condiciones de contorno son $t_0=0$ y $t_n=\frac12(t_n+t_{n-1})+1$ que lleva a $b=0$ y

$$\frac12\left(n^2-an-(n-1)^2+a(n-1)\right)+1=0\;,$$

$$n-\frac a2+\frac12=0,$$

$$a=2n+1\;,$$

y por lo tanto

$$t_n=-n^2+(2n+1)n=n^2+n\;.$$