¿Qué potencias de un elemento primitivo de un campo finito dan lugar a un generador de una extensión de campo finito?

Question

Dejemos que $F_{q^m}$ denota el campo finito con $q^m$ elementos. Sea $\gamma$ sea un elemento primitivo de $F_{q^m}$ .

Cuáles son los poderes $i$ tal que $F_q(\gamma^i)=F_{q^m}$ ?

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Tenga en cuenta que los siguientes son equivalentes, por lo que la pregunta podría reformularse en consecuencia.

• $F_q(\gamma^i)=F_{q^m}$
• El polinomio mínimo de $\gamma^i$ en $F_q$ tiene grado $m$
• No hay $s$ tal que $0<s<m$ y $q^m-1 | i(q^s-1)$

Answer 1

Dejemos que $\alpha$ estar en alguna extensión de $\Bbb F_q$ . Si $\alpha$ tiene orden $n\mid(q^f-1)$ para algunos $f$ entonces $\alpha\in\Bbb F_{q^f}$ . Sabemos que $\Bbb F_q(\alpha)$ es la intersección de todas las extensiones de campo $\alpha$ está contenida en (en algún cierre algebraico fijo, digamos), lo que significa que $\Bbb F_q(\alpha)$ es la intersección de todos los $\Bbb F_{q^f}$ tal que $n\mid(q^f-1)$ , lo que finalmente significa $\Bbb F_q(\alpha)=\Bbb F_{q^f}$ donde $f$ es el orden de $q$ mod $n$ .

Necesitamos el grupo cíclico generado por $\gamma^i$ para no estar contenido en ningún subcampo propio de $\Bbb F_{q^m}$ ya que esto es necesario y suficiente. Sin pérdida de generalidad, $i\mid(q^m-1)$ (si no $i$ se asocia al residuo de un divisor en $\Bbb Z/(q^m-1)\Bbb Z$ ). Sabemos que $\langle\gamma^i\rangle\subseteq\Bbb F_{q^d}^\times$ si el orden del primero divide el orden del segundo:

$$\frac{q^m-1}{i}\mid(q^d-1)\iff \frac{q^m-1}{q^d-1}\mid i.$$

Así que queremos que los enteros $i$ que representan elementos asociados (mod $q^m-1$ ) a los divisores de $q^m-1$ que no son divisibles por $(q^m-1)/(q^d-1)$ para cualquier divisor propio $d\mid m$ .

Hay algunas pruebas de que esto no se puede simplificar: si tenemos un número entero $n$ y una lista arbitraria de divisores $d_1,\cdots,d_k$ podemos ver el conjunto de divisores de $n$ que no son múltiplos de ningún $d_i$ como la bajada de $n$ menos el subidas de la $d_i$ (donde $\Bbb N$ se ordena parcialmente por divisibilidad). Si escribimos un isomorfismo $(\Bbb N,\mid)\cong\Bbb N^{\Bbb N}$ , este último con el orden del producto (vía factorización de primos), luego haciendo esto explícitamente para algunos pequeños ejemplos podemos ver que este conjunto no es tan simple de describir en general.