Comparación de un ideal y su saturación

Question

Dejemos que $S = k[x_0,x_1,\ldots,x_n]$ con su graduación habitual y dejar $I \subset S$ sea un ideal homogéneo que no contenga $S_+ = (x_0,x_1,\ldots,x_n)$ . Definimos el saturación de $I$ para ser el ideal homogéneo \begin {Edición} I^{ \text {sat} = \ {f \in S \mid f \cdot S_n \subseteq I \text { para algunos } n\} \supseteq I \end {Ecuación}

Quiero demostrar que para $d$ suficientemente grande, tenemos $I^{\text{sat}}_d = I_d$ .

Sé que esto debería ser cierto ya que el ideal saturado define la misma subvariedad proyectiva que $I$ y las variedades isomorfas tienen el mismo polinomio de Hilbert, por lo que $(S/I)_d = (S/I^{\text{sat}})_d$ para $d \gg 0$ . Sin embargo, estoy buscando una prueba más directa.

Answer 1

$I^{\text{sat}}$ está generada finitamente, por lo que existe $r\ge 1$ tal que $S_rI^{\text{sat}}\subseteq I$ . Desde $S_{r+i}=S_iS_r$ obtenemos $S_kI^{\text{sat}}\subseteq I$ para todos $k\ge r$ . Esto demuestra que $S_+^rI^{\text{sat}}\subseteq I$ y, por lo tanto, el grado $S$ -Módulo $I^{\text{sat}}/I$ es artiniano (por ser un módulo finitamente generado sobre el anillo artiniano $S/S_+^r$ ). Pero los módulos artinianos graduados tienen todas las componentes graduadas iguales a cero a partir de algún grado.