El axioma de la elección tiene poco que ver con esto. ¿Por qué? La topología es definido de la colección de intervalos que es definido por la orden dada.
No tuvimos que hacer ninguna elección arbitraria. Tenemos que comprobar que la colección de intervalos es cerrada bajo intersecciones finitas, y a partir de ahí la topología se define simplemente como todas las posibles uniones de intervalos.
Creo que tu pregunta viene del hecho de que bajo el axioma de elección, si tomamos una familia de intervalos podemos asumir que el conjunto de índices está bien ordenado. Esto es en realidad un "mal uso" del axioma de elección, ya que el axioma de unión asegura que cualquier (incluso las colecciones no ordenables) tiene un conjunto de unión.
Empezamos por la colección $\mathcal B=\{(a,b)\mid a<b, a,b\in A\cup\{\pm\infty\}\}$ donde $\pm\infty$ denotan "el final de la línea" desde arriba y desde abajo. En efecto, el intervalo $(-\infty,+\infty)=A$ .
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Si hay un número finito de intervalos $(a_i,b_i)$ podemos comparar todos los puntos finales y encontrar fácilmente $(\max a_i,\min b_j)$ es el intervalo necesario. Como sólo hay un número finito de intervalos, podemos escribir una fórmula que decida qué punto final nos da la intersección.
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La topología se define ahora como el conjunto de todas las uniones de colecciones de intervalos. De nuevo, esto no plantea ningún problema, considere $\mathcal P(\mathcal B)$ el conjunto de potencias de la colección anterior. Cada elemento $X$ en esta colección es una colección de intervalos. Por el axioma de unión el conjunto $\bigcup X$ existe, y es un superconjunto de cada elemento de $X$ - por lo que si $X$ es no vacía por supuesto que $\bigcup X$ no está vacío.
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Ahora afirmo que $\tau=\{\bigcup X\mid X\in\mathcal P(\mathcal B)\}$ es una topología. Es cerrada bajo uniones como $\bigcup_i (\bigcup X_i)$ sería $\bigcup(\bigcup_i X_i)$ y tenemos intersecciones finitas ya que $\bigcup X\cap\bigcup Y$ contendría todos los elementos que están en intervalos tanto en $X$ y en $Y$ Es decir $\bigcup(X\cap Y)$ . Tenga en cuenta que $\bigcup\varnothing=\varnothing$ y $\bigcup\mathcal P(\mathcal B)=A$ así que $A$ y el conjunto vacío también están en $\tau$ .
(Nótese que he utilizado el hecho de que $X_i\in\mathcal P(\mathcal B)$ que es algo cerrado bajo uniones arbitrarias. Sin embargo, esto es un simple hecho teórico de conjuntos, las uniones de subconjuntos de un determinado conjunto son subconjuntos del mismo conjunto).
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También afirmo que esta es la topología del orden. Por supuesto que todo intervalo es abierto, ya que $(a,b)\in\mathcal B$ entonces $(a,b)=\bigcup\{(a,b)\}$ . Queda por comprobar que efectivamente los intervalos abiertos son una base para esta topología, es decir, todo conjunto abierto no vacío contiene un intervalo. Esto es trivial, ya que $\bigcup X$ seguramente contiene todos los intervalos que están en $X$ .
El axioma de elección no se utilizó en ninguna parte del camino. El axioma de elección es necesario en topología, pero no para la definición de una topología. Se puede argumentar que algunas colecciones formarían una topología sólo cuando se asume el axioma de elección (por ejemplo, todos los subconjuntos bien ordenables de $\mathbb R$ ). Sin embargo, en el caso de las topologías definidas naturalmente por un dado estructura no suele ser el caso en el que se necesita el axioma de elección.
La topología, sin embargo, hace un uso intensivo del axioma de elección. El teorema de Tychonoff es equivalente al axioma de elección; el hecho de que los segundos espacios contables sean Lindelof hace uso de algunos axioma de elección; y hay una plétora de ejemplos similares en los que es necesario. No se trata de usos en los que se necesite definir una topología, sino que se estudian sus propiedades (contabilidad, axiomas de separación, etc.)
