Dejemos que $r>0$ . Demostrar que si $f$ es holomorfa en un plano complejo entero y $|f(f(z))|>r$ para todos $z\in\mathbb{C}$ entonces $f$ es constante. ¿Puede alguien indicarme la dirección correcta?
Respuestas
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Dejemos que $g(z)=f\big(f(z)\big)$ entonces $g$ también es analítica entera, por lo que $h(z)=1/g(z)$ , como $\lvert g(z)\rvert\ge r>0,\,$ para todos $z\in\mathbb C$ . Pero $h$ está limitada por $1/r$ y por lo tanto constante debido al Teorema de Liouville. Así, $g$ también es constante.
Así que $f\big(f(z)\big)=c$ para algunos $c\in\mathbb C$ . Si $f$ no es constante, entonces $f$ está abierto ( Teorema del mapa abierto ), y por lo tanto $D(a,R)\subset f[\mathbb C]$ para algunos $a\in\mathbb C$ y $R>0$ . Pero $f\big(f(z)\big)=c$ implica que $f$ es constante en $D(a,R)$ y, por tanto, es constante en todas partes.
Αevitar la Teorema del mapa abierto . Si $f\big(f(z)\big)=c$ entonces $f\big[\,f[\mathbb C]\big]=\{c\}$ .
Pero si $f$ es entera y no constante, entonces $f[\mathbb C]$ es denso en $\mathbb C$ - Si no, entonces existe el disco $D(a,R)$ , de tal manera que $D(a,R)\cap f[\mathbb C]=\varnothing$ y por lo tanto, $$ \left|\frac{1}{f(z)-a}\right|\le\frac{1}{R}. $$ Pero $1/(f(z)-a)$ sería entera y acotada, y por tanto constante, y así sería $f$ . Así, $D=f[\mathbb C]$ es denso en $\mathbb C$ . Pero entonces $f[D]=\{c\}$ lo que significa que las raíces de $g(z)=f(z)-c$ tienen un punto límite, y por tanto (Teorema de la identidad) $g\equiv 0$ o $f\equiv c$ .
Erik Lundmark
Puntos
21
Prueba . Según el teorema de Picard, las funciones holomorfas enteras no constantes toman todos los valores complejos, excepto quizá uno. Entonces $f(f(z))$ tienen que tomar todos los valores excepto quizás dos números complejos. Pero hay infinitos números complejos $z$ con propiedad $|z| < r$ . Contradicción.
Ejemplo . $e^z$ toma todos los valores excepto $0$ . $e^{e^z}$ toma todos los valores excepto $0$ y $1$ .
