$\sum_{k=1}^n\frac{\sin kx}{k^\alpha} >0\quad\text{for all}\ n=1,2,3,\ldots\ \text{and}\ 0<x<\pi, \text{and}\ \alpha \ge 1$

Question

El Desigualdad de Fejer-Jackson de la siguiente manera: $$\sum_{k=1}^n\frac{\sin kx}k>0\quad\text{for all}\ n=1,2,3,\ldots\ \text{and}\ 0<x<\pi.$$

Conjeturo que la desigualdad que sigue se mantiene:

$$\sum_{k=1}^n\frac{\sin kx}{k^\alpha} >0\quad\text{for all}\ n=1,2,3,\ldots\ \text{and}\ 0<x<\pi, \text{and}\ \alpha \ge 1$$

¿Cómo se demuestra esta desigualdad? ¿Puedes dar un comentario, una prueba o una referencia?

Answer 1

Desgraciadamente, la insinuación de Ahlfors es muy engañosa, y de hecho hay una forma más sencilla de resolver este problema, sobre todo porque a estas alturas del libro Ahlfors ha demostrado los teoremas de Mittag-Leffler y Weierstrass.

Dejemos que $g$ sea una función entera con ceros simples en $a_n$ . Recordemos que el Teorema de Mittag-Leffler no sólo afirma la existencia de funciones meromórficas con polos en $a_n$ pero nos permite controlar la parte singular de la función en cada $a_n$ . Así que dejemos $h$ sea una función meromórfica sobre $\mathbb{C}$ con postes simples en cada $a_n$ con la parte de singuar $c_n/(z-a_n)$ . Entonces $f:=gh$ tiene las propiedades deseadas.