Prueba del límite utilizando $\epsilon$ - $\delta$ definiciones de límites y continuidad

Question

Si $\lim \limits_{t\to x}\dfrac{g(f(t))-g(f(x))}{f(t)-f(x)}=L$ y $f$ es continua en $x$ entonces $\lim \limits_{f(t)\to f(x)}\dfrac{g(f(t))-g(f(x))}{f(t)-f(x)}=L$

Sé que el momento crucial aquí es la continuidad de $f$ . Pero, ¿alguien puede mostrar cómo probar esto estrictamente usando $"\varepsilon-\delta"$ ?

Le agradecería mucho su ayuda.

Answer 1

Como se ha dicho, la afirmación es falsa. Dejemos que $$ f(x) = \left\{\begin{matrix} x &\text{ if }x\in[-1,1]\cap\mathbb{Q} \\ r(x) &\text{ if }x\in[-1,1]\backslash\mathbb{Q} \\ 2-|x| &\text{ otherwise }\end{matrix}\right. $$ donde $r(x)$ devuelve algún número racional estrictamente comprendido entre $0$ y $x$ para $x\not\in\mathbb{Q}$ y que $$ g(x) = \left\{\begin{matrix} x &\text{ if }x\in\mathbb{Q} \\ -x &\text{ if }x\not\in\mathbb{Q}\end{matrix}\right. $$ Entonces $f$ es continua en $x=0$ y para $|t|\le 1$ tenemos $f(t)\in\mathbb{Q}$ Así que $g(f(t)) = f(t)$ para $|t|\le 1$ . Esto implica que $$ \lim\limits_{t\rightarrow 0}{\frac{g(f(t))-g(f(0))}{f(t)-f(0)}} = \lim\limits_{t\rightarrow x}{\frac{f(t) - 0}{f(t)-0}} = 1.$$ Para determinar $\lim\limits_{f(t)\rightarrow f(0)}{\frac{g(f(t))-g(f(0))}{f(t)-f(0)}}$ Sin embargo, observamos que hay al menos dos formas de $f(t)$ para acercarse $f(0)=0$ . Una forma es que $t\rightarrow 0$ en cuyo caso el límite obtenido es $1$ como se muestra arriba. Otra es para $t\rightarrow 2$ . En este caso, el límite no existe. Esto se debe a que la racionalidad de $f(t)$ depende de la racionalidad de $t$ y por lo tanto $\frac{g(f(t))-g(f(0))}{f(t)-f(0)} = \pm 1$ cambiará de signo entre lo racional y lo irracional $t$ y como tanto los racionales como los irracionales son densos, se deduce que el límite no puede existir.

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Ahora, voy a hacer dos suposiciones más. Primero, asumo que $f(t)\ne f(x)$ para todos $t\ne x$ en algún barrio $(x-T,x+T)$ . Esto es para que el primer límite tenga sentido. En segundo lugar, asumo que $f$ es continua en un barrio de $x$ (y, abusando de alguna notación, podemos bajar el valor de $T$ arriba para que este barrio sea también $(x-T,x+T)$ ).

Dejemos que $\epsilon>0$ y que $\delta>0$ satisfacer $$ |t-x|<\delta\implies \left|\frac{g(f(t))-g(f(x))}{f(t)-f(x)}-L\right|<\epsilon.$$

Si es necesario, podemos hacer $\delta < T$ también. Ahora bien, como $(x-\delta,x+\delta)$ es un intervalo, y $f$ es continua en este intervalo, su imagen es también un intervalo (por el Teorema del Valor Intermedio), y como $f$ es localmente no constante, sabemos que este intervalo no es trivial (es decir, tiene más de un punto). Por tanto, podemos encontrar un intervalo abierto alrededor de $f(x)$ (llámalo $(f(x)-\delta',f(x)+\delta')$ ) que está contenida en la imagen $f((x-\delta,x+\delta))$ . Ahora hago la siguiente afirmación: para todos los $t$ tal que $|f(t)-f(x)|<\delta'$ tenemos $$\left|\frac{g(f(t))-g(f(x))}{f(t)-f(x)}-L\right|<\epsilon.$$ Para ver esto, observe que si $|f(t)-f(x)|<\delta'$ entonces existe $t'$ con $|t'-x|<\delta$ , de tal manera que $f(t')=f(t)$ . Esto se debe a que $f(t)\in (f(x)-\delta',f(x)+\delta')\subseteq f((x-\delta,x+\delta))$ . Desde $|t'-x|<\delta$ tenemos $$ \epsilon > \left|\frac{g(f(t'))-g(f(x))}{f(t')-f(x)}-L\right| = \left|\frac{g(f(t))-g(f(x))}{f(t)-f(x)}-L\right| $$ como se desee.

EDIT: Hay un fallo en esta prueba; ver los comentarios más abajo.

Answer 2

$\lim \limits_{t\to x}\dfrac{g(f(t))-g(f(x))}{f(t)-f(x)}=L$ , $f$ es continua en $x$ . Demostrar que $\lim \limits_{f(t)\to f(x)}\dfrac{g(f(t))-g(f(x))}{f(t)-f(x)}=L$

Para cualquier $\epsilon > 0$ existe un $\delta $ de manera que siempre que $|x - t | < \delta$ tenemos $| \dfrac{g(f(t))-g(f(x))}{f(t)-f(x)} - L | < \epsilon$ . Este dado

Y para cualquier $\epsilon > 0$ hay salidas $\delta > 0$ de manera que cuando $|x - t | < \delta $ tenemos $| f(x) - f(t)| < \epsilon$ . Esto desde $f$ es continua.

Dado $\epsilon > 0$ hay salidas $\beta >0$ de manera que cuando $|x - t | < \beta$ tenemos $| \dfrac{g(f(t))-g(f(x))}{f(t)-f(x)} - L | < \epsilon$

La idea es elegir una pequeña $\delta$ tal que $t$ satisfacer $|f(x) - f(t) | < \delta$ entonces hay salidas $\beta'$ con $t$ en $|x - t | < \beta'< \beta$ . Es una definición inversa.