He introducido $p / q$ en la ecuación. No estoy seguro de qué hacer a continuación.

Question

Supongamos que $a_0, a_1, \dots, a_n$ son enteros y $a_0 \neq 0$ y $a_n \neq 0$. Consideremos el polinomio

$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n$.

Si $p \neq 0$, $q > 0$ son enteros coprimos y $p/q$ es una raíz racional de la ecuación $f(x) = 0$, entonces demuestra que $p | a_n$ y $q | a_0$, y que si $q > 1$, entonces $p-mq$ divide a $f(m)$ para cualquier entero $m$.

Answer 1

Conectar

$$a_0\left({p\over q}\right)^n+a_1\left({p\over q}\right)^{n-1}+\ldots +a_{n-1}\left({p\over q}\right)+a_n=0$$

Luego, mueve $a_n$ hacia la derecha y limpia los denominadores

$$p\left(a_0p^{n-1}+a_1p^{n-2}q+\ldots +a_{n-2}pq^{n-2}+a_{n-1}q^{n-1}\right)=-a_nq^n$$

Dado que $p$ divide a la izquierda, también divide a la derecha. Dado que $p\not\mid q$, debe ser que $p|a_n$. Similarmente, moviendo el primer término en lugar del último, obtenemos

$$q\left(a_nq^{n-1}+a_{n-1}pq^{n-2}+\ldots +a_1p^{n-1}q+a_0p^n\right)=-a_0p^n$$

Nuevamente, $q\not\mid p$, así que $q\mid a_0$.

Para la segunda parte, simplemente expandimos

$$f(m)=a_0m^n+\ldots+a_{n-1}m+a_n$$

Ahora resta $q^nf(p/q)=0$ de esto multiplicado por $q^n$.

$$q^nf(m)=q^nf(m)-q^nf(p/q)=a_0 \big((mq)^n-p^n\big)+a_1q\big((mq)^{n-1}-p^{n-1}\big)+\ldots+q^{n-1}a_{n-1}\big((mq)-p\big).$$

Luego, $q^nf(m)$ es divisible por $p-mq$ porque

$$x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\ldots +xy^{n-2}+y^{n-1}).$$

Claramente, $\gcd(p-mq, q)$ divide a $q$ y $p$ ya que $p=(p-mq)+m(q)$, por lo tanto, la coprimalidad implica que este gcd es $1$. Por lo tanto, $p-mq$ divide a $f(m)$ si el primero es un entero no nulo según el teorema fundamental de la aritmética, o un teorema ligeramente más débil que dice que $a|bc$ y $\gcd(a,b)=1$ implica $a|c$. Dado que $q>1$, tenemos que $p-mq\ne 0$ para todos los $m$ y el resto es historia.