¿Cuál es el grupo de clase del complemento de tres rectas en el plano proyectivo?

Question

Tengo una pregunta directa:

Dejemos que $ Y$ sea la unión de las tres líneas $ L_1:x=0 , L_2 :y=0$ y $L_3:z=0$ en el plano proyectivo $\mathbb{P }^2$ . Cuál es el grupo de clase del complemento $U:=\mathbb{P}^2\setminus Y$ ?

Ahora se cumplen todas las condiciones principales necesarias para definir el grupo de clases: Sea $(X,\mathcal{O}_X)$ sea un esquema integral noetheriano que es regular en codimensión uno, es decir, todos los anillos locales $\mathcal{O}_{X,p}$ tienen dimensión uno y son regulares. El grupo de clases $Cl(X)$ se define como

$$ Div(X)/\sim $$ con $$ D\sim D' \iff D-D' \text{ is a principal divisor }$$

He intentado utilizar el teorema de que para cualquier hiperplano $H:x_i=0$ , si $D$ es un divisor de grado $d$ entonces $D\sim dH$ .

También sé que si $W$ es un subconjunto irreducible cerrado de $X$ codimensión $1$ y $V=X\setminus W$ , entonces hay una secuencia exacta:

$$\mathbb{Z} \to CL(X)\to CL(V)\to 0$$

Cualquier sugerencia será muy apreciada.

Answer 1

El grupo de clase de $U$ es cero, querido colega matemático.

En efecto, si se elimina la línea $z=0$ de $\mathbb P^2$ , te quedas con $\mathbb A^2$ .
Y si luego se eliminan los puntos donde $x=0$ o $y=0$ se queda con el producto $U=(\mathbb A^1\setminus\{0\})\times (A^1\setminus\{0\})$ .
Se trata de una variedad afín con anillo de coordenadas
$$A=\mathcal O(Y)=k[T,T^{-1},U,U^{-1}]$$ Como ese anillo es factorial la variedad afín correspondiente $Y$ tiene grupo de clase cero: Hartshorne, Capítulo II, Proposición 6.2 .