Producto de dos Lebesgue integrable funciones no Lebesgue integrable

Question

Tengo una tarea problema que dice;

Dar funciones de Borel $f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que son Lebesgue integrable, pero son tales que $fg$ no es Lebesgue integrable.

Vi esta página también: el Producto de dos Lebesgue integrable funciones, pero la pregunta no hace mención de acotamiento.

Yo también no estoy seguro de qué hacer con el hecho de que las funciones de Borel. (Cualquier ayuda sería muy apreciado)

Sé que si $fg$ fueron Lebesgue integrable entonces ambos $\int (fg)^+\,d\mu$ $\int (fg)^-\,d\mu$ sería finito. Esto podría conducir a la utilización de la finitud de su diferencia (la función integral) o su suma (valor absoluto). También sé que $f+g$ son Lebesgue integrable si $f$ $g$ así que he pensado en usar $$fg = \frac{1}{4}\,\big( (f+g)^2 - (f-g)^2 \big)\longrightarrow \int (fg)\,d\mu = \frac{1}{4}\,\int (f+g)^2\,d\mu - \frac{1}{4}\,\int (f-g)^2\,d\mu,$$ asumiendo linealidad de la integral, etc.

Pensé también en la desigualdad de Hölder, $$\int \mid fg \mid d\mu \leq \bigg( \int \mid f \mid^p d\mu \bigg)^{(1/p)}\,\bigg( \int \mid g \mid^q d\mu \bigg)^{(1/q)},$$ but there was no mention in the question of what $L^p$-space this was in. Maybe by the definition I gave it is such that $p=1$ and $q=1$? Then $$\int \mid fg \mid d\mu \leq \bigg( \int \mid f \mid d\mu \bigg)\,\bigg( \int \mid g \mid d\mu \bigg).$$

Sin embargo, todavía me parece que no puede pensar en un enfoque para demostrar que $fg$ es no Lebesgue integrable, mientras que$f$$g$.

Gracias por la guía!

Answer 1

Intente $f(x)=g(x)=[0<x<1]\cdot\dfrac1{\sqrt{x}}$ por cada $x$$\mathbb R$.

Editar por Lo tanto, $f(x)=g(x)=\dfrac1{\sqrt{x}}$ por cada $x$ $(0,1)$ $f(x)=g(x)=0$ por cada $x$$\mathbb R\setminus(0,1)$. El Borel de la mensurabilidad de $f=g$ proviene del hecho de que $f=g$ es continua en todas partes, excepto en puntos de $0$$1$. La integrabilidad de $f=g$ $\mathbb R$ proviene del hecho de que la integral de Riemann $\int\limits_0^1\dfrac{\mathrm dx}{x^a}$ es finito para cada $a<1$ y, en particular, para $a=1/2$. La no integrabilidad de $f\cdot g$ $\mathbb R$ proviene del hecho de que la integral de Riemann $\int\limits_0^1\dfrac{\mathrm dx}{x^a}$ es infinita para cada $a\geqslant1$ y, en particular, para $a=1$.

Answer 2

Así que enlace te dice como hacerlo: $f$ $g$ debe ser ilimitado.

También, sus cálculos muestran que se puede reducir el problema al caso de $f=g$, porque si no sería cierto en este caso se puede mostrar en general.

Y ya que el uso de la integral de Lebesgue, elija una función de paso de $f= \sum n 1_{I_n}$ donde $I_n$ es un intervalo de... ¿Cómo se puede hacer $f$ Lebesgue integrable sino $f^2$ no?