Encuentra el límite de $\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y)^2}$

Question

Encuentra el límite de $$\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y)^2}$$

Por lo tanto, sé que $$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=c \Leftrightarrow \forall (x_n)\subseteq D\setminus\{x_0\}, x_n\to x_0: f(x_n)\to c \, (n\to \infty)$$

Dejemos que $x_n=\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right), y_n=\left(\frac{1}{n},0\right):$ $$f(x_n)=\frac{\frac{1}{n}^4}{\frac{1}{n}^4}=1\\ f(y_n)=\frac{0}{...}=0\\ \Rightarrow f(x_n)\neq f(y_n)\, (n\to \infty)$$

Así que el límite no existe. ¿Correcto?

Answer 1

Lo que has escrito es correcto.

Tenemos, como $n \to \infty$ , $(1/n,1/n) \to (0,0)$ , $$f(1/n,1/n)=\frac{1/n^4}{1/n^4+0} \to 1$$ y tenemos, como $n \to \infty$ , $(1/n,0) \to (0,0)$ , $$f(1/n,0)=\frac{0}{0+1/n^2} \to 0$$ El límite dado no existe.