Dejemos que $\Phi_a$ sea una familia de al azar funciones generalizadas que pertenecen todas al mismo espacio de Sobolev con exponente negativo, digamos $H^{-k}$ para $k>0$ . ¿Es posible hablar de convergencia en derecho en $H^{-k}$ para tal familia? Una noción natural sería la siguiente: la familia de mide $\mu_{a}$ inducido por $\Phi_a$ convergen a alguna medida límite $\mu$ Sin embargo, esta medida estaría definida en el espacio de Sobolev negativo $H^{-k}$ ¿cómo entender la convergencia correspondiente? Significa simplemente que para cualquier función continua y acotada $f$ en $H^{-k}$ tenemos $\int_{H^{-k}}f d\mu_a \to \int_{H^{-k}} f d \mu$ donde $\mu$ ¿es la medida limitante?
Respuesta
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Sí. La convergencia en ley o distribución para las variables aleatorias, en general, significa la convergencia débil de sus leyes o distribuciones de probabilidad. Para esta última noción es necesario tener un espacio topológico fijo $X$ donde todas estas medidas $\mu_a$ y $\mu$ viven (como medidas de probabilidad de Borel). La definición de convergencia es que para todas las funciones continuas acotadas $F$ en $X$ , $\int_X F(x)d\mu_a(x)$ debe converger a $\int_X F(x)d\mu(x)$ .
Ahora bien, esta definición es sólo el punto de entrada a una teoría amplia y bien desarrollada con muchos teoremas listos para ser utilizados. No hay nada especial en $X=H^{-k}$ y se trata igual que cualquier otro espacio topológico. Nótese que la mejor situación con respecto a la teoría mencionada es cuando $X$ es un Espacio polaco (o algún espacio que no esté muy lejos de eso como los espacios de la distribución de Schwartz $\mathscr{S}'$ y $\mathscr{D}'$ ). La buena noticia es que los espacios de Sobolev en $\mathbb{R}^n$ siendo espacios de Banach separables, son por tanto polacos. Esto le da acceso a resultados sobre la estanqueidad como el teorema de Prokhorov, etc. Para algunos resultados avanzados recientes específicos de la convergencia de las medidas de probabilidad en los espacios de Besov (que incluyen Sobolev como casos particulares), véase por ejemplo el artículo "Un criterio de estanqueidad para campos aleatorios, con aplicación al modelo de Ising" por Furlan y Mourrat en EJP 2017.
