Dejemos que $\mathcal F=$ { $\emptyset, \Omega$ } demuestran que $X : \Omega \to \Bbb R$ es una variable aleatoria si $X$ es constante.

Question

Tengo que probar esto:

Dejemos que $(\Omega, \mathcal F)$ sea un espacio medible, $\mathcal F=$ { $\emptyset, \Omega$ } demuestran que $X : \Omega \to \Bbb R$ es una variable aleatoria si y sólo si $X$ es constante.

He intentado usar eso $X$ es una variable aleatoria si $X^{-1}B \in \mathcal F$ si $B$ es un conjunto de Borel pero no puedo concluir nada, también lo he intentado con la otra definición: $X$ es una variable aleatoria si $(X \le x) \in \mathcal F$ $ \forall x \in R$ .

¿Alguna pista o idea sobre qué definición de variable aleatoria debo utilizar?

Answer 1

He intentado usar eso $X$ es una variable aleatoria si $X^{-1}B \in \mathcal F$ si $B$ es un conjunto de Borel pero no puedo concluir nada, también lo he intentado con la otra definición: $X$ es una variable aleatoria si $(X \le x) \in \mathcal F$ $ \forall x \in R$

Va por buen camino. Cualquiera de las dos ideas funcionará, pero vamos con tu segunda idea. Ya que $\mathcal{F} = \{\varnothing, \Omega\}$ (sólo hay dos conjuntos medibles), la afirmación " $\{X \le x\} \in \mathcal{F}$ "es equivalente a $$ \{X \le x\} = \varnothing \qquad\text{OR}\qquad \{X \le x \} = \Omega $$

Y eso tiene que ser cierto para todos $x$ . Ahora (suponiendo que $\Omega$ no vacío), que $a \in \Omega$ y considerar $f(a)$ . ¿Qué puede decir sobre $$ \{X \le f(a)\}? $$ Además, ¿qué se puede decir de $$ \{X \le y\} $$ para cualquier $y < f(a)$ ?

Answer 2

Utiliza la segunda definición. Sea $c=\sup \{x:\{X\leq x\} \neq \Omega\}$ . Verifique que $0<c<\infty$ . Tenga en cuenta que $\{X\leq x\}=\Omega$ para $x>c$ y concluir que $X\leq c$ . A continuación, observe que $\{X\leq x\}=\emptyset$ para todos $x<c$ . Concluir que $X=c$ .