Incrustaciones de grupos finitos en $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$

Question

Sabemos que cada grupo $G$ orden $n$ puede ser embebido en $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$, debido a que

• $G \hookrightarrow S_n$ (Teorema de Cayley)
• $S_n\hookrightarrow \mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ (a través de matrices de permutación)

Además, se puede demostrar que $S_n \hookrightarrow \mathrm{GL}_{n-1}(\mathbb{Z})$, pero no podemos mejorar el teorema de Cayley en general (es decir, no tenemos $G \hookrightarrow S_{n-1}$).

Para $n>2$, vamos a $k(n)$ el entero más pequeño $k$ de manera tal que todos los grupos de orden $n$ puede ser incrustado en $\mathrm{GL}_{k}(\mathbb{Z})$. Podemos demostrar fácilmente que $k(4)=2$, $k(5)=4$, $k(6)=2$. A partir de la primera observación que hemos $k(n)\leqslant n-1$. Deje $u_n=\frac{k(n)}{n}$. ¿Qué podemos decir acerca de $u_n$ ? Parece difícil de determinar plenamente $u_n$. Por ejemplo:

• Se puede extraer una larga $u_{\varphi(n)}$, de tal manera que $\lim_{n\to \infty}u_{\varphi(n)} =1$?
• O aún más: hay infinidad de $n$ tal que $k(n)=n-1$?
• ¿Cuáles son la acumulación de puntos de $u_n$?
• etc

Answer 1

Si $n=p$ es primo, entonces $k(n)=n-1$. Esto se deduce del hecho de que el polinomio mínimo de un no-matriz identidad de orden $p$ debe dividir el cyclotomic polinomio $\Phi(p) = (x^p-1)/(x-1)$, que es irreducible sobre los enteros.

Answer 2

Para n ≤ 100, k es exactamente igual a oeis:A152455, y creo que habría sido razonable conjetura de que siempre se mantiene, pero habría sido bastante malo.

El grupo de fin de 144 con id 114 (un "casi el doble de la cubierta" de AGL(1,9), el único de no dividir a la baja extensión de AGL(1,9) por un subgrupo normal de orden 2) tiene mínimo racionales de grado 16, pero el cíclico grupo mínimo racionales de grado 14. Del mismo modo, casi el doble de la cubierta de AGL(1,25) tiene mínimo racionales de grado 32 en comparación con el grupo cíclico de la misma orden con el mínimo racionales de grado 30; 2.AGL(1,49) tiene 64 en lugar de 60 años; 2.AGL(1,81), tiene 96 en lugar de 74; 2.AGL(1,121) tiene 128 en lugar de 124; 2.AGL(1,169) 176 en lugar de 172. ^{_{2.AGL(1,9) ha sido revisada cuidadosamente, los demás necesitan Schur índices marcada, pero sospecho que el infinito de la familia debe seguir a partir de una sola prueba.}}

Sin duda, como en Derek Holt respuesta, uno puede calcular la dimensión mínima de una fiel representación integral de un grupo cíclico como un aditivo de la versión de la phi de Euler de la función. Es decir, Derek la respuesta que se tiene para el primer poderes como k( p^e ) ≥ (p-1)p^e-1, y el uso racional de la forma canónica, se muestra que este límite inferior de k es aditiva sobre relativamente-prime prime poderes.

Ya que este crece con bastante rapidez, parece que a menudo también es una cota superior para la dimensión mínima de una fiel representación integral de cualquier grupo de orden n. Acabo de comprobar el carácter de tablas (con índices de Schur) para verificar el límite para n ≤ 143, pero hay un grupo de orden 144 que es un contraejemplo. No hay otros contraejemplos hasta orden n ≤ 200 (pero otro contraejemplo de la orden de 1200).

Hay algunos enteros n tales que todo grupo de orden n es cíclica, y, entonces, ¿tenemos exactamente calculada k, no sólo un límite inferior. Como Derek mencionado, tomando n primer muestra 1 es un punto de acumulación de u_n. Tomar un producto del yo distinto de los números primos tales que ningún primer divide el phi de Euler función del resto, uno obtiene una n con u_n ≈ (ip)/(pⁱ) → 0, como me aumenta. En particular, 0 es un punto de acumulación de u_n como n varía con:

3,
3⋅5,
3⋅5⋅17,
3⋅5⋅17⋅23,
3⋅5⋅17⋅23⋅29,
3⋅5⋅17⋅23⋅29⋅53,
3⋅5⋅17⋅23⋅29⋅53⋅83,
3⋅5⋅17⋅23⋅29⋅53⋅83⋅89, …

con el último valor que se muestra de n tener 0.000000004 como su valor de u_n.