Por qué no hay una representación irreducible fiel de dimensión finita del álgebra de Heisenberg

Question

Disculpas por hacer una pregunta estúpida. Trabajando en el ejercicio 7.8 de Introducción a las álgebras de Lie . Dice:

Dejemos que $L$ sea el álgebra de Heisenberg con base $f$ , $g$ , $z$ tal que $[f, g] = z$ y $z$ es central. Demostrar que $L$ no tiene una representación irreducible fiel de dimensión finita.

En primer lugar, ¿qué tiene de malo la representación tradicional de la diagonal superior? A saber,

$$ f = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \quad,\quad g = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \quad,\quad z = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \quad. $$

También me gustaría saber por qué estos tres requisitos para la representación (fiel, finito-dimensional, irreducible) son incompatibles para el álgebra de Heisenberg.

Gracias.

Answer 1

Ya has descrito más abajo por qué la representación matricial no es irreducible (perdón, me equivoqué al hablar de la representación regular en primer lugar).

Para demostrar que no existe ninguna representación irreducible fiel de dimensión finita, consideremos la acción de $z$ : Por un lado, debe ser de traza $0$ (¿por qué?) por otro lado, debe ser un escalar (¿por qué?). ¿Puedes completar los detalles?

Observaciones de los comentarios: El punto crucial aquí es que ${\mathfrak g}$ tiene la propiedad ${\mathfrak z}({\mathfrak g})\cap [{\mathfrak g},{\mathfrak g}]\neq \{0\}$ , pero esta propiedad sí no distinguen las álgebras de Lie que poseen una representación irreducible fiel de dimensión finita:

• No reductor Álgebra de Lie ${\mathfrak g}$ como ${\mathfrak g}{\mathfrak l}(n)$ tiene esta propiedad (aunque pueda tener centro no trivial), ya que ${\mathfrak g} = {\mathfrak z}({\mathfrak g})\oplus [{\mathfrak g},{\mathfrak g}]$ para la reducción ${\mathfrak g}$ . Sin embargo, puede o no poseer una representación irreducible finita: Es decir, si ${\mathfrak z}({\mathfrak g})$ es $1$ -la representación adyacente $[{\mathfrak g},{\mathfrak g}]\to{\mathfrak g}{\mathfrak l}([{\mathfrak g},{\mathfrak g}])$ se extiende a una representación irreducible fiel de dimensión finita de ${\mathfrak g}$ dejando ${\mathfrak z}({\mathfrak g})$ actúa de forma no trivial por algún escalar, mientras que por otro lado, ninguna representación irreducible de dimensión finita puede ser fiel en ${\mathfrak z}({\mathfrak g})$ por el Lemma de Schur si $\dim{\mathfrak z}({\mathfrak g})>1$ .

• A solucionable El álgebra de Lie puede o no tener esta propiedad, pero (sobre un campo algebraicamente cerrado de característica $0$ ) nunca tiene una representación irreducible fiel de dimensión finita por Teorema de Lie .

Por cierto, no es una pregunta estúpida.

Answer 2

Por el teorema de Lie, las representaciones irreducibles de dimensión finita de las álgebras de Lie solubles sobre $K$ son $1$ -dimensional. Aquí suponemos que $K$ es algebraicamente cerrado de característica cero. Como el álgebra de Lie de Heisenberg es nilpotente, es resoluble. Pero un $1$ -para el álgebra de Lie de Heisenberg no puede ser fiel, porque la dimensión mínima para una representación fiel del álgebra de Lie de Heisenberg es $3$ - ver esta pregunta de MSE .