Si $\sigma=a-e^{1-b\epsilon}$ y $\frac{d\sigma}{d\epsilon}=\sigma$ , encontrar $\epsilon$ en términos de $a$ y $b$ .

Question

Así que para este problema, me dieron que $$\sigma = a - e^{1-b\epsilon}$$ y $${d\sigma\over d\epsilon}=\sigma$$

Tengo la tarea de encontrar $\epsilon$ en términos de $a$ y $b$ .

Esto es lo que he hecho hasta ahora:

Establece las ecuaciones iguales entre sí y toma la integral. $${d\sigma\over d\epsilon}=a - e^{1-b\epsilon}$$ $$\int d\sigma=\int(a-e^{1-b\epsilon})d\epsilon$$ $$\sigma=a\epsilon+\frac 1 b e^{1-b\epsilon}$$

A partir de aquí, establezco la primera ecuación dada y la ecuación más reciente iguales entre sí en un intento de deshacerse del $\sigma$ . $$a - e^{1-b\epsilon}=a\epsilon+\frac 1 b e^{1-b\epsilon}$$ Para intentar simplificar esto y conseguir $\epsilon$ por sí mismo, traté de reordenar la ecuación. $$a(1-\epsilon)=(1+\frac 1 b)e^{1-b\epsilon}$$ $$\epsilon=1-(1+\frac 1 b)\frac 1 a e^{1-b\epsilon}$$ Por desgracia, no estoy seguro de cómo superar el hecho de que hay un $\epsilon$ en el exponencial que es difícil de conciliar con el $\epsilon$ He puesto a la izquierda de la última ecuación. Gracias por vuestra ayuda, chicos.

Answer 1

Puedes seguir este método:

$$\sigma = a- e^{1-b\epsilon}$$

Diferencie esta ecuación con respecto a $\epsilon$

$$\frac{d\sigma}{d\epsilon}=be^{1-b\epsilon}$$

$$e^{1-b\epsilon}= \frac{1}{b} \frac{d\sigma}{d\epsilon}= \frac{\sigma}{b}............(A)$$

Ponga este valor de $e^{1-b\epsilon}$ en la primera ecuación

$$\sigma = a - \frac{\sigma}{b}$$

$$\sigma = \frac{ab}{b+1}$$

Ahora sustituya este valor de $\sigma$ en (A)

$$e^{1-b\epsilon} = \frac{a}{b+1}$$

Toma el logaritmo natural en ambos lados

$$1-b\epsilon = log_e(\frac{a}{b+1})$$

$$\epsilon = \frac{1-log(\frac{a}{b+1})}{b}$$

Espero que esto ayude...........:-)