En una partida recibes tres cartas, $\omega$ de una baraja bien barajada. A continuación, recibirá 10 dólares si la mano contiene al menos dos cartas de cara. Para determinar cuánto estaría dispuesto a pagar, por partida, para jugar un gran número de manos, necesita crear una variable aleatoria adecuada X y una función de valor f. ¿Cuál es la variable aleatoria, la función de valor y el valor que estaría dispuesto a pagar para llegar al punto de equilibrio, es decir, E[f]?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Dejemos que $X=1$ si se obtiene $2$ o más tarjetas de cara, y dejar $X=0$ de lo contrario.
Hay $\binom{52}{5}$ manos de póker igualmente probables.
Hay $\binom{12}{2}\binom{40}{1}$ manos que tienen $2$ cartas de cara, y $\binom{12}{3}$ manos que tienen $3$ . Así, $$\Pr(X=1)=\frac{\binom{12}{2}\binom{40}{1}+\binom{12}{3}}{\binom{52}{5}},$$ y por lo tanto $$E(X)=\frac{\binom{12}{2}\binom{40}{1}+\binom{12}{3}}{\binom{52}{5}}.$$
Dejemos que $f(x)=10x$ . Entonces nuestros ingresos del juego son $f(X)$ . Y $$E(f(X))=10\frac{\binom{12}{2}\binom{40}{1}+\binom{12}{3}}{\binom{52}{5}}.$$
El número $E(f(X))$ es la cantidad que se debe pagar por partida para que el juego sea "justo".
Observación: Alternativamente, podríamos dejar que $Y=10$ si obtenemos $2$ o más tarjetas de cara, y $0$ de lo contrario. Entonces queremos $E(Y)$ . Por supuesto, obtenemos el mismo número.
