Distribución del mínimo de dos variables aleatorias

Question

Este es mi problema. Consideremos que X, Y y Z son variables aleatorias que siguen la distribución exponencial (la misma media o no importa). Estoy tratando de encontrar la distribución de la $\min(\dfrac{X}{Z},\dfrac{Y}{Z})$ . ¿Puedo calcular las distribuciones de $\dfrac{X}{Z}$ y \dfrac {Y}{Z} entonces encontrar el mínimo ? o debo proceder de manera diferente ya que tengo el mismo denominador ?

Gracias.

PS : La distribución del raio

Answer 1

Supongamos que son mutuamente independientes. Como $X,Y,Z \geq 0$ sabemos $\min( \frac X Z, \frac Y Z ) = \frac 1 Z \min(X,Y)$ . A continuación, observe que, dado que $X,Y$ son exponenciales e independientes, digamos $X \sim \exp(\lambda), Y\sim \exp(\mu)$ y $Z \sim \exp(\nu)$ entonces $M:=\min(X,Y) \sim \exp(\lambda + \mu)$ , ver wikipedia para tener una referencia de este hecho. A continuación, puede comprobar FCD de un cociente de variables exponenciales para la FCD de la relación de dos exponenciales independientes,

$$ P[M/Z \leq t] = \frac{\lambda + \mu}{\nu/t + \lambda+\mu} $$

para $t >0$ .