$K(Y)$ es isomorfo al campo cociente de $A(Y).$

Question

Estoy estudiando por mi cuenta la Geometría Algebraica y siguiendo el libro de Hartshornes de Geometría Algebraica. Tengo algunas dificultades para entender el teorema 3.2 del capítulo 1. Lo expongo a continuación.

Dejemos que $Y \subset \mathbb{A}^n$ sea una variedad afín con anillo de coordenadas afín $A(Y)=A/I(Y),$ donde $A=K[X_1,\ldots,X_n].$ Me he quedado en la letra d), donde dice que $K(Y)$ es isomorfo al campo cociente de $A(Y),$ donde el campo de la función $K(Y)$ se define como la clase de equivalencia de $<U,f>$ donde $f: U \to K$ es un mapa regular y considera la identificación $<U,f>=<V,g>$ cuando $f=g$ en $U \cap V$ ( que siempre es no vacía ya que $Y$ es irreducible). Entiendo que el campo cociente de $A(Y)$ es isomorfo al campo cociente de $\mathscr{O}_p$ (donde $\mathscr{O}_p$ denota el anillo local en el punto $p \in Y)$ está contenida en el campo de la función $K(Y).$ Lo único que me preocupa es la línea en la que afirma que toda función racional está en algún $\mathscr{O}_p.$ Me quedé aquí como muestra ese campo cociente de $\mathscr{O}_p$ es igual a $K(Y)$ ?

En mi opinión puede ocurrir que para diferentes $p \in Y$ el campo cociente de $\mathscr{O}_p$ tiene una copia diferente en $K(Y).$ O puede que me esté perdiendo algo. Necesito su ayuda. Muchas gracias.

Answer 1

Obsérvese que el mapa natural $\mathscr{O}(Y) \rightarrow K(Y)$ factores a través de $\mathscr{O}_p$ para cualquier $p$ . Por lo tanto, si se considera el mapa inducido en campos cotizados $A(Y) \rightarrow K(Y)$ entonces esto es un factor a través de $A(Y) \rightarrow Frac(\mathscr{O}_p) \rightarrow K(Y)$ para cualquier $p$ (nótese que la composición sigue dando el mismo mapa). Usando esto y el hecho de que toda función racional está contenida en algún $\mathscr{O}_p$ debería darle la reclamación.