Solucionar $\cos(\theta) + \sin(\theta) = x$ para $x$, desconocido $\theta$?

Question

Después de mirar la lista de identidades trigonométricas, me parece que no puede encontrar una manera de resolver esto. Es solucionable?

$$\cos(\theta) + \sin(\theta) = x.$$

Lo que si he añadido otra ecuación para el problema:

$$-\sin(\theta) + \cos(\theta) = y,$$ donde $\theta$ es el mismo y $y$ también es conocido?

Gracias.

EDITAR:

OK, así que el uso de las combinaciones lineales yo era capaz de sacar:

$$a \sin(\theta) + b \cos(\theta) = x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta + \phi),$$ donde $\phi = \arcsin \left( \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right) = \frac{\pi}{4}$ (como $a\geq 0$)

Me da:

$$x = \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \text{ and } \arcsin(x) - \frac{\pi}{4} = \theta.$$

Todo el conjunto! Gracias!

Answer 1

Otro método va notando que $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$. Tenemos $\cos\theta+\sin\theta=x$, por lo que $$\cos^2\theta+2\cos\theta\sin\theta+\sin^2\theta=x^2,$$ or $2\cos\theta\sin\theta=x^2-1$. But $2\cos\theta\sin\theta=\sin(2\theta)$, so $2\theta=\sin^{-1}(x^2-1)$, or $$ \theta=\frac12\sin^{-1}(x^2-1).$$

Answer 2

Ecuaciones lineales en $\sin \theta $ $\cos \theta $ puede ser resuelto por un resolvent ecuación de segundo grado, utilizando las dos identidades (también aquí):

$$\cos \theta =\frac{1-\bronceado ^{2}\frac{\theta }{2}}{1+\bronceado ^{2}\frac{\theta }{2% }}$$

y

$$\sin \theta =\frac{2\tan \frac{\theta }{2}}{1+\tan ^{2}\frac{\theta }{2}}.$$

En este caso, tenemos

$$\begin{eqnarray*} \cos \theta +\sin \theta &=&x \\ &\Leftrightarrow &\left( 1-\tan ^{2}\frac{\theta }{2}\right) +2\tan \frac{% \theta }{2}=x\left( 1+\tan ^{2}\frac{\theta }{2}\right) \\ &\Leftrightarrow &(x+1)\tan ^{2}\frac{\theta }{2}-2\tan \frac{\theta }{2}% +x-1=0 \\ &\Leftrightarrow &\tan \frac{\theta }{2}=\frac{2\pm \sqrt{4-4(x+1)(x-1)}}{% 2(x+1)} \\ &\Leftrightarrow &\tan \frac{\theta }{2}=\frac{1\pm \sqrt{2-x^{2}}}{x+1} \\ &\Leftrightarrow &\theta =2\arctan \frac{1\pm \sqrt{2-x^{2}}}{x+1}. \end{eqnarray*}$$

Answer 3

Si usted sabe

$$ \cos(\theta) + \sin(\theta) = x $$

y

$$ -\sin(\theta) + \cos(\theta) = y $$

entonces usted tiene un sistema de dos ecuaciones lineales en los 'desconocidos'$\cos(\theta)$$\sin(\theta)$, y por lo tanto se puede resolver para los valores de $\cos(\theta)$$\sin(\theta)$:

$$ \cos(\theta) = \frac{x+y}{2} $$ $$ \sin(\theta) = \frac{x-y}{2} $$

y a continuación, obtener $\theta$ favoritos en tu manera.

Answer 4

Tal vez esto es un poco demasiado tarde, pero incluso sin la segunda ecuación, es solucionable...

$$x=\sin\theta+\cos\theta\\ \mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }=\sin\theta+\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\\ \mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }=\sin\theta\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)+\cos\theta\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\\ \mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }=\sin^2\theta+\cos^2\theta\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\\=1\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }$$

$$\mbox{As required.}$$

Por lo tanto, sólo hay soluciones triviales. El No-trivial.

Edit: Oops! El de arriba es completamente equivocado, como ha señalado Andrew D en los comentarios. Realmente he hecho absoluted tonterías. Lo que un tonto error! La correcta debería ser: $$x=\sin\theta+\cos\theta\\ \mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }=\sin\theta+\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\\ =2\sin\left(\pi/4\right)\cos\left(\pi/4-\theta\right)\\ =\sqrt2\sin\left(\theta\right) $$ Así, $$\theta=\arcsin\frac{x}{\sqrt2}$$